3x+1 循环
我们仍没有关于除了简单的 4-2-1 循环外不存在其它正整数循环的证明. 然而我们知道不存在只含有 "很少" 元素的循环. 下面我们将给出更精确的结果.
现在关于 3x+1 循环的研究都是基于 Crandall 的一个定理. 在 1978 年他证明了如下定理:
想要利用这个定理来做精确有用的估计时, 首先我们要得到
j | pj | qj |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 1 |
3 | 3 | 2 |
4 | 8 | 5 |
5 | 19 | 12 |
6 | 65 | 41 |
7 | 84 | 53 |
8 | 485 | 306 |
9 | 1,054 | 665 |
10 | 24,727 | 15,601 |
11 | 50,508 | 31,867 |
12 | 125,743 | 79,335 |
13 | 176,251 | 111,202 |
14 | 301,994 | 190,537 |
15 | 16,785,921 | 10,590,737 |
16 | 17,087,915 | 10,781,274 |
17 | 85,137,581 | 53,715,833 |
18 | 272,500,658 | 171,928,773 |
19 | 357,638,239 | 225,644,606 |
20 | 630,138,897 | 397,573,379 |
21 | 9,809,721,694 | 6,189,245,291 |
22 | 10,439,860,591 | 6,586,818,670 |
23 | 103,768,467,013 | 65,470,613,321 |
如果已知对于所有小于某个特定数 N 的数均收敛的话, 我们就能根据这个表格推断这时一个循环长度的下限.
上面的例子说明了两件事情. 首先, 我们可以由最小的未检查收敛性的正整数 N 求得循环长度的下限. 其次, 循环长度下限不是随着 N 的增大而持续增大的, 而是依赖于 qj 的值跳跃增大的.
对于所有 j 来说都有一个 N 的最大临界值 (记作 Nmax). 当 N 大于这个值的时候, 它就不能继续提高循环长度的下限了. Nmax 的值等于
如果要继续提高循环长度的下限, 我们需要 j=7 的下一行. 尽管这样, 对于较小的 N 新的表达式的值比 41 要小, 所以暂时来说不能提升循环长度的下限. 只有当 N 达到关于 j 的最小临界值 (Nmin) 的时候我们才能看到效果. 可以看到, Nmin 的值为
当 j > 4 时这些临界值如下:
(注 : Nmin 和 Nmax 中较大的数已经被舍入)
j | qj | Nmin | Nmax | kmin |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | |||
2 | 1 | |||
3 | 2 | |||
4 | 5 | |||
5 | 12 | 132 | 318 | 18 |
6 | 41 | 564 | 1,927 | 62 |
7 | 53 | 7,360 | 9,513 | 80 |
8 | 306 | 25,732 | 148,563 | 459 |
9 | 665 | 2,488,698 | 5,408,445 | 998 |
10 | 15,601 | 15,783,110 | 370,274,134 | 23,402 |
11 | 31,867 | 867,431,201 | 1,771,837,067 | 47,801 |
12 | 79,335 | 3,035,921,290 | 7,558,126,447 | 119,003 |
13 | 111,202 | 11,969,231,783 | 16,776,990,139 | 166,803 |
14 | 190,537 | 599,449,615,674 | 1,027,115,802,069 | 285,806 |
15 | 10,590,737 | 2,036,079,429,954 | 113,172,673,831,054 | 15,886,106 |
16 | 10,781,274 | 341,535,948,748,930 | 347,680,491,387,159 | 16,171,911 |
17 | 53,715,833 | 1,216,368,161,954,000 | 6,060,343,986,623,000 | 80,573,750 |
18 | 171,928,773 | 10,677,992,615,805,000 | 34,177,151,614,467,000 | 257,893,160 |
19 | 225,644,606 | 53,574,551,736,291,000 | 70,312,888,338,719,500 | 338,466,909 |
20 | 397,573,379 | 743,140,051,792,797,000 | 1,309,718,777,460,900,000 | 596,360,069 |
21 | 6,189,245,291 | 2,539,711,459,647,450,000 | 39,537,096,854,067,000,000 | 9,283,867,937 |
22 | 6,586,818,670 | 222,990,560,815,925,000,000 | 237,314,619,175,287,000,000 | 9,880,228,005 |
23 | 65,470,613,321 |
结果表明当前知道循环长度的下限是很大的. 这是因为现在搜索的道德结果几乎断定了所有低于 500 . 1015 的数都是收敛的.
如果我们接受现今的计算结果, 认为所有小于等于
最后, 我们考虑到在上面的定义中, 奇变换被定义为 (3x+1) / 2. 如果考虑原来的 3x+1 变换的话, 循环的长度就要再乘以一个因子 ln(6) / ln(3) ≈ 1.63, 这样的话现在知道的非平凡的循环长度至少是大约 5.53 亿.
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