3x+1 归一步数记录
右面的表格列出了所有已知的被确认的归一步数记录. 有更大归一步数的数显然存在, 但是只有在检查了所有比它小的数的归一步数, 确认了它们的归一步数不如这个数的大的时候, 我们才能确认这个是一个归一步数记录. 106 号及其以前的归一步数记录都包含在 1992 年 Leavens and Vermeulen 发表的论文中. 作者发现, 直到现在为止, 其余的归一步数记录都是由我们这个分布式计算项目找到或者确认的.
从这些数据中我们可以看出一些有趣的事实. 首先, 值得注意的是, 在每个 10 的 10 次方这么大的区间里边, 大约就有 8 个记录, 这就意味着平均来说一个归一步数记录的大小大约是它的前一个的 1.33 倍. 显然, 当后一个记录是前一个的两倍时, 它们的间距相对来说最大. 这种情况并不少见. 至少有 13 个记录就是它们前一个的两倍. 它们仅仅将归一步数的最大值提高了 1 . 有四个这样的记录是小于 100 的, 当然这时记录的候选者也少得多. 其它大多是当前面的记录对归一步数的最大值作了一个很大的提高的时候发生的. 已知最大的归一步数记录也是它前一个的两倍.
一个记录对归一步数最大值的提高通常很小. 尽管这样, 也有几个记录, 当它们出现时, 归一步数的最大值就被显著提高了. 记录 #59, 也就是 63,728,127 , 一下子就把最大值提高了 205 . 仅有的另外两个将最大值提高 100 以上的记录是记录 #96 和 #109 , 它们分别将最大值提高了 106 和 158. 有趣的是, 这三个数恰好分别是第一个等级为 -1, -2 以及 -3 的数. 归一步数记录中也包含了确切已知的仅仅五个强度记录中的四个.
从剩余因子的一列可以看出很多归一步数记录都是在某种程度上 "相关" 的, 因为它们的剩余因子几乎相同. 记录 #59 和接着的 11 个记录的剩余因子都很接近, 大约就是 1.183418 . 这就意味着它们在首次变得低于 1,000,000 之前的 "轨迹" 几乎相同. 相似地, 也有 11 个归一步数记录有差不多共同的剩余因子 1.151611. 在另一个 "家族" 登场以前, 很多记录也跟强度记录 #3 有几乎相同的剩余因子, 那就是 1.148153 .最后我们找到不少于 16 个记录的剩余因子都极其接近 1.146963 , 其中包括了强度记录 #4.
|
|
#
|
归一步数
|
N
|
等级
|
剩余因子
|
注释
|
|---|
|
???
|
2090
|
46785,696846,401151
|
-3
|
1.195484
|
|
|
128
|
2046
|
45404,032640,947650
|
-2
|
1.185261
|
前一个的两倍
|
|
127
|
2045
|
22702,016320,473825
|
-3
|
1.185261
|
|
|
126
|
2042
|
17026,512240,355369
|
-3
|
1.185261
|
|
|
125
|
2039
|
12769,884180,266527
|
-3
|
1.185261
|
|
|
124
|
1958
|
7579,309213,675935
|
-2
|
1.095545
|
|
|
123
|
1919
|
6482,291402,296969
|
-2
|
1.095545
|
|
|
122
|
1916
|
4861,718551,722727
|
-2
|
1.095545
|
|
|
121
|
1903
|
4320,515538,764287
|
-2
|
1.170175
|
|
|
120
|
1895
|
3586,720916,237671
|
-2
|
1.189331
|
|
|
119
|
1874
|
2978,729873,866753
|
-2
|
1.146963
|
|
|
118
|
1871
|
2234,047405,400065
|
-2
|
1.146963
|
|
|
117
|
1868
|
1675,535554,050049
|
-2
|
1.146963
|
|
|
116
|
1865
|
1256,651665,537537
|
-2
|
1.146963
|
|
|
115
|
1862
|
942,488749,153153
|
-2
|
1.146963
|
|
|
114
|
1859
|
706,866561,864865
|
-2
|
1.146963
|
|
|
113
|
1856
|
530,149921,398649
|
-3
|
1.146963
|
|
|
112
|
1853
|
397,612441,048987
|
-3
|
1.146963
|
|
|
111
|
1847
|
223,656998,090055
|
-3
|
1.146963
|
|
|
110
|
1823
|
134,345724,286089
|
-3
|
1.146963
|
|
|
109
|
1820
|
100,759293,214567
|
-3
|
1.146963
|
强度记录 #4
|
|
108
|
1662
|
80,867137,596217
|
-1
|
1.146963
|
|
|
107
|
1659
|
60,650353,197163
|
-1
|
1.146963
|
|
|
106
|
1651
|
51,173735,510107
|
-1
|
1.146963
|
|
|
105
|
1638
|
48,575069,253735
|
-1
|
1.146963
|
|
|
104
|
1617
|
38,903934,249727
|
-1
|
1.146963
|
|
|
103
|
1601
|
27,667550,250351
|
-1
|
1.148153
|
|
|
102
|
1588
|
26,262557,464201
|
-1
|
1.148153
|
|
|
101
|
1585
|
19,536224,150271
|
-1
|
1.157597
|
|
|
100
|
1569
|
14,022512,981985
|
-1
|
1.148153
|
|
|
99
|
1566
|
10,516884,736489
|
-1
|
1.148153
|
|
|
98
|
1563
|
7,887663,552367
|
-1
|
1.148153
|
|
|
97
|
1550
|
7,487118,137598
|
-1
|
1.148153
|
前一个的两倍
|
|
96
|
1549
|
3,743559,068799
|
-2
|
1.148153
|
强度记录 #3
|
|
95
|
1443
|
3,700892,032993
|
0
|
1.148153
|
|
|
94
|
1440
|
2,775669,024745
|
-1
|
1.148153
|
|
|
93
|
1437
|
2,081751,768559
|
-1
|
1.148153
|
|
|
92
|
1411
|
1,899148,184679
|
0
|
1.133972
|
|
|
91
|
1408
|
1,444338,092271
|
-1
|
1.118288
|
|
|
90
|
1356
|
1,122382,791663
|
0
|
1.168279
|
|
|
89
|
1348
|
989345,275647
|
0
|
1.118288
|
|
|
88
|
1335
|
881715,740415
|
0
|
1.191075
|
|
|
87
|
1332
|
674190,078379
|
0
|
1.168279
|
|
|
86
|
1324
|
568847,878633
|
0
|
1.168279
|
|
|
85
|
1321
|
426635,908975
|
0
|
1.168279
|
|
|
84
|
1308
|
404970,804222
|
0
|
1.168279
|
前一个的两倍
|
|
83
|
1307
|
202485,402111
|
0
|
1.168279
|
|
|
82
|
1255
|
166763,117679
|
0
|
1.151611
|
|
|
81
|
1242
|
158294,678119
|
0
|
1.151611
|
|
|
80
|
1234
|
133561,134663
|
0
|
1.151611
|
|
|
79
|
1228
|
75128,138247
|
0
|
1.151611
|
|
|
78
|
1220
|
63389,366646
|
0
|
1.151611
|
前一个的两倍
|
|
77
|
1219
|
31694,683323
|
0
|
1.151611
|
|
|
76
|
1213
|
17828,259369
|
-1
|
1.151611
|
|
|
75
|
1210
|
13371,194527
|
-1
|
1.151611
|
强度记录 #2
|
|
74
|
1184
|
12235,060455
|
-1
|
1.133972
|
|
|
73
|
1153
|
12212,032815
|
0
|
1.151611
|
|
|
72
|
1132
|
9780,657630
|
0
|
1.151611
|
前一个的两倍
|
|
71
|
1131
|
4890,328815
|
0
|
1.151611
|
|
|
70
|
1087
|
4578,853915
|
0
|
1.183418
|
|
|
69
|
1050
|
2610,744987
|
0
|
1.183418
|
|
|
68
|
1008
|
1674,652263
|
0
|
1.183418
|
|
|
67
|
1000
|
1412,987847
|
0
|
1.183418
|
|
|
66
|
987
|
1341,234558
|
1
|
1.183418
|
前一个的两倍
|
|
65
|
986
|
670,617279
|
0
|
1.183418
|
|
|
64
|
965
|
537,099606
|
0
|
1.183418
|
前一个的两倍
|
|
63
|
964
|
268,549803
|
0
|
1.183418
|
|
|
62
|
956
|
226,588897
|
0
|
1.183418
|
|
|
61
|
953
|
169,941673
|
0
|
1.183418
|
|
|
60
|
950
|
127,456254
|
0
|
1.183418
|
前一个的两倍
|
|
59
|
949
|
63,728127
|
-1
|
1.183418
|
强度记录 #1
|
|
58
|
744
|
36,791535
|
1
|
1.187193
|
|
|
57
|
705
|
31,466382
|
2
|
1.187193
|
前一个的两倍
|
|
56
|
704
|
15,733191
|
1
|
1.187193
|
|
|
55
|
691
|
14,934241
|
2
|
1.187193
|
|
|
54
|
688
|
11,200681
|
1
|
1.187193
|
|
|
53
|
685
|
8,400511
|
1
|
1.187193
|
|
|
52
|
664
|
6,649279
|
1
|
1.201247
|
|
|
51
|
612
|
5,649499
|
2
|
1.147790
|
|
|
50
|
596
|
3,732423
|
2
|
1.236827
|
|
|
49
|
583
|
3,542887
|
2
|
1.236827
|
|
|
48
|
562
|
3,064033
|
2
|
1.145388
|
|
|
47
|
559
|
2,298025
|
2
|
1.145388
|
|
|
46
|
556
|
1,723519
|
2
|
1.145388
|
|
|
45
|
530
|
1,501353
|
2
|
1.184728
|
|
|
44
|
527
|
1,117065
|
2
|
1.194220
|
|
|
43
|
524
|
837799
|
2
|
1.194219
|
|
|
42
|
508
|
626331
|
2
|
1.137228
|
|
|
41
|
469
|
511935
|
2
|
1.189969
|
|
|
40
|
448
|
410011
|
2
|
1.189967
|
|
|
39
|
442
|
230631
|
2
|
1.189968
|
|
|
38
|
385
|
216367
|
3
|
1.158457
|
|
|
37
|
382
|
156159
|
3
|
1.203830
|
|
|
36
|
374
|
142587
|
3
|
1.112413
|
|
|
35
|
353
|
106239
|
3
|
1.195754
|
|
|
34
|
350
|
77031
|
3
|
1.236863
|
|
|
33
|
339
|
52527
|
3
|
1.147835
|
|
|
32
|
323
|
35655
|
3
|
1.203842
|
|
|
31
|
310
|
34239
|
3
|
1.189967
|
|
|
30
|
307
|
26623
|
3
|
1.147785
|
|
|
29
|
281
|
23529
|
3
|
1.170163
|
|
|
28
|
278
|
17647
|
3
|
1.170147
|
|
|
27
|
275
|
13255
|
3
|
1.168403
|
|
|
26
|
267
|
10971
|
3
|
1.191078
|
|
|
25
|
261
|
6171
|
2
|
1.191114
|
|
|
24
|
237
|
3711
|
2
|
1.189760
|
|
|
23
|
216
|
2919
|
2
|
1.211424
|
|
|
22
|
208
|
2463
|
2
|
1.211378
|
|
|
21
|
182
|
2223
|
3
|
1.209309
|
|
|
20
|
181
|
1161
|
2
|
1.157749
|
|
|
19
|
178
|
871
|
2
|
1.157417
|
|
|
18
|
170
|
703
|
2
|
1.209947
|
|
|
17
|
144
|
649
|
2
|
1.180891
|
|
|
16
|
143
|
327
|
2
|
1.171862
|
|
|
15
|
130
|
313
|
2
|
1.162108
|
|
|
14
|
127
|
231
|
2
|
1.180973
|
|
|
13
|
124
|
171
|
2
|
1.196512
|
|
|
12
|
121
|
129
|
2
|
1.189556
|
|
|
11
|
118
|
97
|
2
|
1.186490
|
|
|
10
|
115
|
73
|
2
|
1.182426
|
|
|
9
|
112
|
54
|
1
|
1.198849
|
前一个的两倍
|
|
8
|
111
|
27
|
1
|
1.198849
|
|
|
7
|
23
|
25
|
2
|
1.198647
|
|
|
6
|
20
|
18
|
2
|
1.248590
|
前一个的两倍
|
|
5
|
19
|
9
|
2
|
1.248590
|
|
|
4
|
16
|
7
|
1
|
1.203998
|
|
|
3
|
8
|
6
|
1
|
1.185185
|
前一个的两倍
|
|
2
|
7
|
3
|
1
|
1.185185
|
|
|
1
|
1
|
2
|
1
|
1.000000
|
Double
|
|