用方程解3x+1问题

编程算 1+2^(1/2),(用变通的3x+1方法),发散好快.

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-4-8 21:46 编辑 [/i]]

看起来还是比较认真的，但是我个人觉得这种尝试用方程组解决问题的方法得不出什么很有用的结果，因为3x+1问题的本质很深奥，不是简单直接的初等方法能够攻破的。3x+1的某些变种在某些公理系统中是不可证明的。
建议如果想业余研究一下的话，先看看我们翻译的3x+1资料：
[url]http://www.equn.com/3x+1[/url]
也不要到什么东陆数学论坛了，那里的人很多都有疑似的妄想症，基本不按照逻辑说话。
这个问题拿来消遣一下是没有什么问题的，但是不要指望能解决，现在的数学还没有准备好回答这样的问题。
另外，关于循环的问题，已经有很强的结论表明一百万阶以下的循环是不存在的。
由于本版主要讨论数学类项目的程序使用问题，您的帖子将会被移动到会员交流区，敬请谅解。

fwjmath很专业，很负责[em05]

刚才上wiki查了查~~~发现这种想法别人早就很仔细地讨论过了~~~没得出什么结果来~~~数值运算也没多少人做~~~估计也是没什么用~~~

回复 #5 laodiao8014 的帖子

你所谓的“分水岭”对于3x+1问题完全没有用处。你这个方法的用处是证明不存在循环，也就是说不存在这样的组合使你的第六部分中的a=b。但是这并不容易，甚至可以说是很困难，因为它涉及到的东西很基本，比如说进位制等等。而且你的这种方法前人早已想过，根据我查到的资料来看你现在还很落后于前人。以上是意见。
请发帖前先看看别人对你观点的意见，这样也是对别人的一种尊重，否则如果别人不能在你的帖子里得到教益，这个帖子也没有存在的意义。
以上是警告，请“讨论”而不是“演讲”，这里有不少人的水平至少不低于你的。
如果继续这样的话，我会考虑作灌水处理。
以上抄送短信息。

回复 #6 fwjmath 的帖子

兄弟，或许有时候表太认真，我的意思是说，对待不去认真想想的情况，别人自己都不用心，你就更不需要这么用心了，我想，你的时间用在别的地方要比用在这里更划得来。

移到水版了。。没有犯规就随他演说吧～[em02]

求教也是娱乐

十五.3x+1问题与代数数
对3x+1问题中，把一个偶数除以2，改成除以根号下2，即2的2分之1次方（2^(1/2)）,这样对原有整数运算没有改变。
例：1，4，2*2^(1/2),2,2^(1/2),1。
方程组中原有的2变成2^(1/2),成为：
3*x(-2)+1=(2^(1/2))^m(-2)*x(-1)
          3*x(-1)+1=(2^(1/2))^m(-1)*x(0)
          3*x(0)+1=(2^(1/2))^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=(2^(1/2))^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=(2^(1/2))^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=(2^(1/2))^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=(2^(1/2))^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=(2^(1/2))^m(n)*x(1)
解的公式变为：
a =  3^(n-1)  +  3^(n-2)*( (2^(1/2))^(m(1)))  +3^(n-3)*( (2^(1/2))^(m(1)+m(2)))  +……+3*(2^(1/2))^(m(1)+m(2)+m(3)+……+m(n-2) ) +  (2^(1/2))^(m(1)+m(2)+……+m(n-1))  
b  =  (  (2^(1/2))^(m(1)+m(2)+……+m(n-1)+m(n) )   - 3^n  )
x(1) =a / b
这样，x的范围扩展到代数数，有没有代数整数解？（1这样的整数就算了）。看看-3-2*2^(1/2)
(规则稍变一下，乘3加1后，分母不变，把分子里公共的“2^(1/2)”因子除完)
(被乘3的数是r+s*2^(1/2)形式的数，r,s为整数，r为奇数)
-3-2*2^(1/2)--->-9-6*2^(1/2)--->-8-6*2^(1/2)--->-4*2^(1/2)-6---->-4-3*2^(1/2)---> -2*2^(1/2)-3
看，是个圈子，还是个代数整数。
在公式中，令m(1)=3,m(2)=3,n=2,得x(1)=(3+2*2^(1/2))/(8-9)=-3-2*2^(1/2)
令m(1)=1,m(2)=5,n=2,还可得到解-3-2^(1/2),还有-3-4*2^(1/2)
充分利用分母（8-9），把2的1/2次方变成2的1/y次方，（y是大于等于2的整数），适当对m(1),m(2)取值，保证分母为（8-9），可得无限个方程组和代数整数解，都是圈子，都和-5,-7类似。
可惜用公式算还是代数整数解少，大部分有分母(不为正负1的)。
看看1+2^(1/2),-->3+3*2^(1/2)----->4+3*2^(1/2)---->2*2^(1/2)+3--->6*2^(1/2)+9--->
6*2^(1/2)+10----->3*2^(1/2)+5……，也不知道会算到哪去？
尊敬的fwjmath先生,用这个变通的规则算1+2^(1/2),麻烦您问问高手有没有现成的答案.这样弄很好玩,纯粹娱乐.

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-3-24 18:43 编辑 [/i]]

回复 #8 laodiao8014 的帖子

算了一下，似乎是发散的。
不过也很好理解。二分之一的机会乘以3加一再除以根号二，二分之一的机会直接除以根号二，发散的可能性很大。
当然这不是严格的证明，不过我觉得这个应该是发散的，因为条件太软弱了。

[[i] 本帖最后由 fwjmath 于 2008-3-24 06:52 编辑 [/i]]

再求教一个好玩的问题

<P>十六. 正负整数搅在一堆的3x+1问题</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 在3x+1问题中，把除以2换成除以负2，看看会如何？</P>
<P>方程组变为： ……
      3*x(-2)+1=（-2）^m(-2)*x(-1)
      3*x(-1)+1=（-2）^m(-1)*x(0)  
       3*x(0)+1=（-2）^m(0)*x(1)
       3*x(1)+1=（-2）^m(1)*x(2)
       3*x(2)+1=（-2）^m(2)*x(3)
       3*x(3)+1=（-2）^m(3)*x(4)
        ……
      3*x(n-1)+1=（-2）^m(n-1)*x(n)
      3*x(n)+1=（-2）^m(n)*x(1)
<P>解的公式就算了。</P>
<P>例：1,4,-2,1,这个圈子还有，（相对于3x+1问题除以2的）</P>
            3，10，-5，-14，7，22，-11，-32，16，-8，4，-2，1，进入圈子了.
            5，16，……，1，进入圈子了。
            -1，-2，1，好，-1被1收编了。
            -3，-8，4，-2，1，也被1收下了。
            -7，-20，10，-5，……，1，又是1的货。
           -17，-50，25，76，-38，19，58，-29，-86，43，130，-65，-194，97，292，-146，73，220，-110，55，166，-83，-248，-62，31，94，-47，-140，70，-35，-104，52，-26，13，40，-20，……，也没逃出1的手掌心。</P>
计算能力有限，不知除了1，4，-2，1，这个圈子，还有没有别的（指乘3加1除以负2这种规则的）。
用公式解的话，没有分母等于（8-9）这种便宜货了（是-8-9），指数m(n)为2的解是1还可以利用。编程好麻烦，求助，求助，求助！

也是消遣一下

十七.  3x+1问题的一个子问题
1.  还是从方程组出发，把除以2变成除以4（即2^2）。
方程组变为：  ……
          3*x(-2)+1=4^m(-2)*x(-1)
          3*x(-1)+1=4^m(-1)*x(0)
          3*x(0)+1=4^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=4^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=4^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=4^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=4^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=4^m(n)*x(1)
(规则变成把一个奇数乘3加1除以4，但这里要求结果是整数，而且只讨论正整数。)
2. 先看1，1 --->4 --->1,圈子还在。
再看113,113-->340--->85--->256--->64--->16--->4--->1。
故此处方程组整数解集非空，记为解集十七，第九段列的方程组的整数解集记为解集九，显然，解集九包含解集十七，解集十七里能找到的圈子解集九里也有。（这就是一个子问题，这里难度明显小多了）。
    3这个数显然不是解集十七里面的，按规则，3-->10,10无法用4除了，除成分数了。
3.  因为是除以4^m(n)，而m(n)大于等于1,所以序列中只看奇数是单调递减的，因而这里没有航班无限的解，故不用列航班无限的方程组了。
   比如上面例子中，113大于85,85大于1。
4.解集十七里有几个圈子？只有1，4，1这一个。
用公式解找整数解，圈子只一个数的只有1，4，1（指奇数），若还有别的圈子，就要圈子中奇数个数大于1了，圈子中（只看奇数）个数大于等于2个的，设圈子为x(1),x(2),……，x(n)，必有一个最小整数，不失一般性，记为x(1),x(1)大于1，则有方程3*x(1)+1=4^m(1)*x(2)，但从方程看，由于有4^m(1),又要求x(1)比x(2)大，矛盾。

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-3-26 10:32 编辑 [/i]]

回复 #11 laodiao8014 的帖子

这些问题有趣是很有趣，但是也就是这么回事，无论是对于解决3x+1问题还是编程验证都没什么用处。

再求教一下

十八：也是正负整数混在一起的(有虚代数整数的)
在3x+1问题中，把除以2换成除以（-2）^(1/2)，看看会如何？
注：（-2）^(1/2)是个虚数。
方程组变为： ……
3*x(-2)+1=（（-2）^(1/2)）^m(-2)*x(-1)
3*x(-1)+1=（（-2）^(1/2)）^m(-1)*x(0)
3*x(0)+1=（（-2）^(1/2)）^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=（（-2）^(1/2)）^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=（（-2）^(1/2)）^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=（（-2）^(1/2)）^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=（（-2）^(1/2)）^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=（（-2）^(1/2)）^m(n)*x(1)
解的公式就算了。
x 的取值范围是s + t*（-2）^(1/2)形式的数，s,t均为整数。t为0时，x是整数,t不为0时，x是代数整数，且是个虚数。
(规则再变一下，乘3加1后，分母不变，把分子里公共的“（-2）^(1/2)”因子除完)
(被乘3的数是r+s*（-2）^(1/2)形式的数，r,s为整数，r为奇数)
<P> </P>
相对于十六段，（-2）^(1/2)不改变-2对原有整数的运算。
例：1，4，-2*（-2）^(1/2)， -2 ， （-2）^(1/2)， 1，这个圈子还有。
在x取值为s + t*（-2）^(1/2)形式且 s和t不为0时，不知道能不能找到圈子。
看看 1+（-2）^(1/2)，用“乘3加1后，分母不变，把分子里公共的“（-2）^(1/2)”因子除完“这个规则算一下：4+3*（-2）^(1/2)---->-2*（-2）^(1/2)+3---->-6*（-2）^(1/2)+10---->3*（-2）^(1/2)-5----->9*（-2）^(1/2)-14---->9+7*（-2）^(1/2)……，不知道算下去是进入一个圈子，还是发散?
尊敬的fwjmath先生,有个东西问一下,形如s + t*（2）^(1/2)的代数整数,把2^(1/2)看成象2一样的偶数因子,当s是偶数时能不能把s + t*（2）^(1/2)看成"偶的",用2^(1/2)除s + t*（2）^(1/2)商还是一个代数整数,当s是奇数时能不能把s + t*（2）^(1/2)看成"奇的",这时用2^(1/2)除s + t*（2）^(1/2)商不是一个代数整数,而且偶的加偶的还是偶的,奇的加奇的也是偶的,和整数中数的奇偶性质一样.这样有奇和偶的规定后,十五段中"把公共的2^(1/2)因子除完"就好理解了.不知道这样看奇偶性是否合理?

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-4-30 18:44 编辑 [/i]]

回复 #13 laodiao8014 的帖子

这个实际上是和除以2^(1/2)是一样的，就是符号不同而已。你的奇偶性的看法也是可取的。
实际上可以随意定义多个整数的运算规则，不一定要限制在复数的模型中。
这个涉及的理论就很广了，我觉得连最简单的3x+1问题的解决都已经很困难了，更广泛的结果可能已经超出我们时代的范围了。
不过也不一定~~~看看吧~~~

有图象的

十八段中,x的取值范围是复数:s + t*（-2）^(1/2),相当于复平面中的向量,乘3加1和除(-2)^(1/2)均有几何意义,特别是除(-2)^(1/2),不光是要把偶的除成奇的,还把一个向量的幅角顺时针旋转一个角度.这样原先的代数问题,可以有几何旋转图象了.如果进入循环,向量的幅角变化也要循环(角度变化有周期).感觉这样看,直观一些,可以在坐标平面上标些整点了.
尊敬的fwjmath先生,不知这样看是把问题弄简单了还是弄复杂了?

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-5-7 22:11 编辑 [/i]]

一个结果

十八段中,从1+(-2)^(1/2)出发,用变通的3x+1规则,算出了一个圈子.
规则是乘3加1再除以(-2)^(1/2),除成奇的为止.
编程算了一下,是个圈子:   1+ (-2)^(1/2)------>3+3*(-2)^(1/2)------>4+3*(-2)^(1/2)------>3-2*(-2)^(1/2)------>10-6*(-2)^(1/2)------>-5+3*(-2)^(1/2)------>9+7*(-2)^(1/2)------>21-14*(-2)^(1/2)------>21+16*(-2)^(1/2)------>3-2*(-2)^(1/2),好了,重复了,是个圈子.
若用解公式:令m(1)=2,m(2)=1,m(3)=1,m(4)=3,m(5)=9,n=5,则a=81+27*(-2)-18*(-2)^(1/2)+12-8*(-2)^(1/2)=39-26*(-2)^(1/2),b=256-243=13,于是x(1)=a/b=3-2*(-2)^(1/2)

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-5-20 17:30 编辑 [/i]]

再弄个复整数试试

先向灾区的同胞表示慰问和关心,祝汶川的网友好运!
十九.在复整数范围内的3x+1问题
     在方程组中，把右边的2换成(1+i),看看如何？
（如不嫌麻烦，-1+i ,-1-i,1-i,都可以拿来试试。）
     （i是虚数单位，i^2=-1）
     方程组变为
       3*x(-2)+1=（1+i）^m(-2)*x(-1)
          3*x(-1)+1=（1+i）^m(-1)*x(0)
          3*x(0)+1=（1+i）^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=（1+i）^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=（1+i）^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=（1+i）^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=（1+i）^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=（1+i）^m(n)*x(1)
解公式就算了
这里x的范围是复整数，形如s+t*i，s和t均为整数，奇偶性规则是：s+t为偶数时，s+t*i是偶的，s+t为奇数时，s+t*i是奇的。显然仍有偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇加偶的是奇的。例如：1，i ,2+i ,1+2*i 这几个是奇的；2，2*i ,1+i ,3+5*i ,这几个是偶的。
3x+1规则变通一下，把x乘3加1后，用（1+i）除成奇的为止，再乘3加1，……。
上面的规则合不合理请尊敬的fwjmath先生评判.
注：1/(1+i)=(1-i)/2
有没有复整数解，看看1+2*i :
1+2*i---->4+6*i---->((4+6*i)*(1-i))/2----->3-2*i--->-4-i--->-7+4*i--->1-4*i--->1+2*i
是个圈子，都是复整数。
用公式解，令m(1)=2,m(2)=3,m(3)=1,m(4)=5,m(5)=5,n=5,代入公式中，a=81+54*i-36-36*i-24*i-32+32*i=13+26*i, b=(1+i)^16-3^5=256-243=13,于是x=a/b=1+2*i
再看看1：1-->4-->4*(1-i)/2=2*(1-i)---->-1--->i----->2+i--->5-2*i--->-3-8*i----->1-2*i,……，不知后面会算到哪里？
<DIV> 
<P>二十.3x+1问题中的共轭现象</P>
<P>在方程组中，把右边的2换成(1-i),看看如何？</P>
（i是虚数单位，i^2=-1）
<P> 方程组变为</P>
3*x(-2)+1=（1-i）^m(-2)*x(-1)
3*x(-1)+1=（1-i）^m(-1)*x(0)
3*x(0)+1=（1-i）^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=（1-i）^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=（1-i）^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=（1-i）^m(3)*x(4)
<P>……</P>
3*x(n-1)+1=（1-i）^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=（1-i）^m(n)*x(1)
<P>解公式就算了</P>
<P>这里x的范围是复整数，形如s+t*i，s和t均为整数，奇偶性规则是：s+t为偶数时，s+t*i是偶的，s+t为奇数时，s+t*i是奇的。显然仍有偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇加偶的是奇的。例如：1，i ,2+i ,1+2*i 这几个是奇的；2，2*i ,1+i ,3+5*i ,这几个是偶的。</P>
<P>3x+1规则变通一下，把x乘3加1后，用（1-i）除成奇的为止，再乘3加1，……。</P>
<P>注：1/(1-i)=(1+i)/2</P>
<P>有没有复整数解，看看1-2*i :</P>
     1-2*i---->4-6*i---->((4-6*i)*(1+i))/2------->3+2*i--->-4+i--->-7-4*i--->1+4*i--->1-2*i
<P>是个圈子，巧的是，这个圈子中的复整数和十九段中找的圈子中的对应的复整数共轭，用解公式，对应的指数m也是一样的，m(1)=2,m(2)=3,m(3)=1,m(4)=5,m(5)=5,n=5,代入公式得a=81-54*i-36+36*i=24*i-32*i-32=13-26*i,b=256-243=13,x(1)=1-2*i.</P>
<P>注：方程u^8-16=0的八个根恰巧为1-i,1+i,-1-i,-1+i,2^(1/2),(-2)^(1/2),-2^(1/2),-(-2)^(1/2),也就是前面换方程组右边2 的数。</P></DIV><DIV> 
<P>二十一.利用共轭现象</P>
<P>第十九段和二十段找了一对共轭圈子，第十八段把方程组右边的2换成（-2）^(1/2)，找了一个圈子，现把方程组右边的2换成-（-2）^(1/2)，看看如何？</P>
<P>注：-（-2）^(1/2)是个虚数，和（-2）^(1/2)共轭。</P>
<P>方程组变为： ……</P>
<P> 3*x(-2)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(-2)*x(-1)</P>
<P> 3*x(-1)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(-1)*x(0)</P>
<P> 3*x(0)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(0)*x(1)</P>
<P>3*x(1)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(1)*x(2)</P>
<P>3*x(2)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(2)*x(3)</P>
<P>3*x(3)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(3)*x(4)</P>
<P>……</P>
<P>3*x(n-1)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(n-1)*x(n)</P>
<P>3*x(n)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(n)*x(1)</P>
<P>解的公式就算了。</P>
<P>x 的取值范围是s + t*（-2）^(1/2)形式的数，s,t均为整数。t为0时，x是整数,t不为0时，x是代数整数，且是个虚数。</P>
<P>奇偶性规则为：当s为偶数时，s + t*（-2）^(1/2)为偶的；当s为奇数时，s + t*（-2）^(1/2)为奇的。显然仍有偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇的加偶的是奇的。</P>
<P>(规则再变一下，乘3加1后，分母不变，把分子里公共的“-（-2）^(1/2)”因子除完，除成奇的)</P>
<P>(被乘3的数是r+s*（-2）^(1/2)形式的数，r,s为整数，r为奇数)</P>
<P>利用共轭现象，和十八段的圈子比较,有一组整数解：3+2*(-2)^(1/2)------>-5-3*(-2)^(1/2)------>9-7*(-2)^(1/2)------>21+14*(-2)^(1/2)------>21-16*（-2）^（1/2）------>3+2*(-2)^(1/2)。是个和十八段中的圈子中奇数共轭的圈子</P>
<DIV>
<P>用解公式，m(1)=2,m(2)=1,m(3)=1,m(4)=3,m(5)=9,n=5, 代入解公式，a=39+26*(-2)^(1/2),b=256-243=13,则x(1)=a/b=3+2*(-2)^(1/2)</P></DIV></DIV>
二十二.3x+1问题和整环
设有一整环R，（有加法“+”，有乘法“*”，有单位元，可交换，不含零因子），R中元素可分成两类，一类是奇的，一类是偶的，（具体例子参见上面二十段，二十一段等），奇偶规则为：偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇的加偶的是奇的。
如果R中有个偶元u，u能整除任意一个R中的偶元(零元不用考虑)，则整环R中有3x+1问题。
可以有方程组
1.  进入某循环的
……
          3*x(-2)+1=u^m(-2)*x(-1)
          3*x(-1)+1=u^m(-1)*x(0)
          3*x(0)+1=u^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=u^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=u^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=u^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=u^m(n)*x(1)
2. 不进入某循环的
  ……
3*x(-2)+1=u^m(-1)*x(-1)
3*x(-1)+1=u^m(0)*x(0)
3*x(0)+1=u^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=u^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=u^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=u^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)
……
u=2时，就是最常见的3x+1问题，R为整数环；u=-2时，R也是整数环，十六段讲过；u=1+i时，十九段讲过，R为复整数环（高斯整环）；……，这样的环有无穷多个。

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-5-27 16:40 编辑 [/i]]

弄几个么数消遣消遣

<P>二十三. 没事弄几个么数（单位数）玩玩</P>
<P>看看这样一个整环R，其元素为形如s+t*3^(1/2)的代数整数，(s,t均为整数)，奇偶规则这样：s+t为偶数时，s+t*3^(1/2)为偶元；s+t为奇数时，s+t*3^(1/2)为奇元。</P>
<P>u可以取值为：1+3^(1/2),1-3^(1/2),-1+3^(1/2),-1-3^(1/2),一共四个偶元，均可整除R中任意一个偶元。</P>
<P>3x+1规则为：把   R中的奇元乘3加1，用u除成奇的，再乘3加1，……</P>
<P>方程组为：</P>
<P>1.  进入某循环的</P>
<P>……</P>
<P> 3*x(-2)+1=u^m(-2)*x(-1)</P>
<P> 3*x(-1)+1=u^m(-1)*x(0)</P>
<P> 3*x(0)+1=u^m(0)*x(1)</P>
<P>3*x(1)+1=u^m(1)*x(2)</P>
<P>3*x(2)+1=u^m(2)*x(3)</P>
<P>3*x(3)+1=u^m(3)*x(4)</P>
<P>……</P>
<P>3*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)</P>
<P>3*x(n)+1=u^m(n)*x(1)</P>
<P>2. 不进入某循环的</P>
<P>  ……</P>
<P>3*x(-2)+1=u^m(-1)*x(-1)</P>
<P>3*x(-1)+1=u^m(0)*x(0)</P>
<P>3*x(0)+1=u^m(0)*x(1)</P>
<P>3*x(1)+1=u^m(1)*x(2)</P>
<P>3*x(2)+1=u^m(2)*x(3)</P>
<P>3*x(3)+1=u^m(3)*x(4)</P>
<P>……</P>
<P>3*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)</P>
<P>……</P>
<P>当u=1+3^(1/2)时，有个么数-2-3^(1/2),算算看 ：-2-3^(1/2)--->-5-3*3^(1/2)--->(-5-3*3^(1/2))/(1+3^(1/2))=-2-3^(1/2),是个圈子，只一个奇元的圈子。</P>
<P>当u=1-3^(1/2)时，么数-2+3^(1/2)也能形成一个圈子，圈子里也只一个奇元。</P>
<P>前面第十五段也找过一个么数解，-3-2*2^(1/2),(相应的R和u均与这里不同)，圈子里也只一个奇元。</P>
<P>当R为整数环，u=2时，么数1,-1均可以形成只一个奇元的圈子。</P>
<P>当R为整数环，u=-2时，么数1可以形成只一个奇元的圈子。</P>
<P>为什么只一个奇元的圈子里的奇元都是么数呢？</P>
      很简单，看看方程3x+1=(u^m)*x
      可以变形为 1=(u^m-3)*x
<P>由于是找整数解，x能整除1,故x是个么数。</P></DIV>
二十四.整环内从3x+1问题到kx+1问题
(一).   先举例：
类似于第十九段，把方程组右边的2换成1+i, （如不嫌麻烦，-1+i ,-1-i,1-i,都可以拿来试试。）
并且把左边的3换成1+2*i,(还可换成1-2*i,-1+2*i,-1-2*i，……)，
     （i是虚数单位，i^2=-1）
     方程组变为
       (1+2*i)*x(-2)+1=（1+i）^m(-2)*x(-1)
          (1+2*i)*x(-1)+1=（1+i）^m(-1)*x(0)
          (1+2*i)*x(0)+1=（1+i）^m(0)*x(1)
(1+2*i)*x(1)+1=（1+i）^m(1)*x(2)
(1+2*i)*x(2)+1=（1+i）^m(2)*x(3)
(1+2*i)*x(3)+1=（1+i）^m(3)*x(4)
……
(1+2*i)*x(n-1)+1=（1+i）^m(n-1)*x(n)
(1+2*i)*x(n)+1=（1+i）^m(n)*x(1)
解公式就算了
这里x的范围是复整数，形如s+t*i，s和t均为整数，奇偶性规则是：s+t为偶数时，s+t*i是偶的，s+t为奇数时，s+t*i是奇的。显然仍有偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇加偶的是奇的。例如：1，i ,2+i ,1+2*i 这几个是奇的；2，2*i ,1+i ,3+5*i ,这几个是偶的。
3x+1规则变通一下，把x乘（1+2*i）加1后，用（1+i）除成奇的为止，再乘（1+2*i）加1，……。
注：1/(1+i)=(1-i)/2
（二）.第二十二段把x的取值范围定为某个整环R
设有一整环R，（有加法“+”，有乘法“*”，有单位元，可交换，不含零因子），R中元素可分成两类，一类是奇的，一类是偶的，（具体例子参见上面二十段，二十一段等），奇偶规则为：偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇的加偶的是奇的。
如果R中有个偶元u，u能整除任意一个R中的偶元(零元不用考虑)，则整环R中有3x+1问题。
把左边的3换成k， （k是整环R中的一个奇元）
可以有方程组
1.  进入某循环的
……
          k*x(-2)+1=u^m(-2)*x(-1)
          k*x(-1)+1=u^m(-1)*x(0)
          k*x(0)+1=u^m(0)*x(1)
k*x(1)+1=u^m(1)*x(2)
k*x(2)+1=u^m(2)*x(3)
k*x(3)+1=u^m(3)*x(4)
……
k*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)
k*x(n)+1=u^m(n)*x(1)
2. 不进入某循环的
  ……
k*x(-2)+1=u^m(-1)*x(-1)
k*x(-1)+1=u^m(0)*x(0)
k*x(0)+1=u^m(0)*x(1)
k*x(1)+1=u^m(1)*x(2)
k*x(2)+1=u^m(2)*x(3)
k*x(3)+1=u^m(3)*x(4)
……
k*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)
……
这样，前面（一）举例，R为高斯整环，k=1+2*i，u=1+i，找了三个圈子：第一个是么数圈子（-1）；第二个也是么数圈子（i），第三个是（1-12*i ，m( 1)= 3， -9-4*i， m( 2)= 2， -11 ，    m( 3)= 3 ，-3+ 8*i ，m( 4)= 3 ， 5+ 4*i ， m( 5)= 3， 4-3*i ， m( 6)= 1 ，     8-3*i ， m( 7)= 1 ，14-1*i ， m( 8)= 1 ， 22+ 5*i ， m( 9)= 1 ，31+ 18*i ，    m( 10)= 4  ， 1-20*i  ， m( 11)= 3  ，  -15-6*i  ，   m( 12)= 2  ，  
   -18+ 1*i  ， m( 13)= 1 ，  -27-8*i ， m( 14)= 3 ，  -13+ 18*i ， m( 15)= 6  ，  1-6*i ， m( 16)= 2 ， -2-7*i  ， m( 17)= 1 ，1-12*i），有十七个奇元的圈子，“m(1)=3”等表示相应指数，这个圈子是目前我找到奇数最多的圈子。
R为高斯整环，k=-1+2*i，u=1-i，找了个圈子（1，-1，i，-i，1+2*i，1,……），这个圈子里有四个么数。
R为高斯整环，k=-1-2*i，u=1+i，找了个圈子（1，-1，-i，i，1-2*i，1,……），这个圈子里也有四个么数。
还可以在别的整环R里推广k，感觉数字稍稍大一点，就不好找圈子了。

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-6-12 22:34 编辑 [/i]]

3x+1问题推广之高飞一例

二十五.远走高飞一例
前些天专门发帖，讨论奇偶数概念在代数整数范围内的推广，费了不少劲。如果承认某些代数整数所生成的整环有奇偶性，就能继续讨论一些问题。感谢尊敬的fwjmath先生指点,本帖如有问题,可不要放过哟!
前面的段落举例也多是找循环圈子为主，没找过越飞越高的例子，在普通3x+1问题里（指对普通奇数乘3加1除2的）很难。这里在3^(1/2)所生成的整环里找一个，因本例情况特殊，证明方法很简单，初中生都能理解的，作为娱乐是很不错的。
先看看方程组：
1. 进入某循环的
……
k*x(-2)+1=u^m(-2)*x(-1)
k*x(-1)+1=u^m(-1)*x(0)
k*x(0)+1=u^m(0)*x(1)
k*x(1)+1=u^m(1)*x(2)
k*x(2)+1=u^m(2)*x(3)
k*x(3)+1=u^m(3)*x(4)
    ……
  k*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)
  k*x(n)+1=u^m(n)*x(1)
   2. 不进入某循环的
    ……
   k*x(-2)+1=u^m(-1)*x(-1)
   k*x(-1)+1=u^m(0)*x(0)
   k*x(0)+1=u^m(0)*x(1)
   k*x(1)+1=u^m(1)*x(2)
   k*x(2)+1=u^m(2)*x(3)
   k*x(3)+1=u^m(3)*x(4)
   ……
   k*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)
   ……
   这是推广3x+1问题所用方程组
   令k=3^(1/2)，u=(3^(1/2)-1),这样方程组就表示在3^(1/2)所生成整环内的3x+1问题，x的取值范围为形如s+t*3^(1/2)的代数整数，s和t为普通整数。
    奇偶规则为：s+t为奇数时，x= s+t*3^(1/2)为奇代数整数；s+t为偶数时，x= s+t*3^(1/2)为偶代数整数。
    3x+1规则为：把一个奇代数整数乘3加1，变成偶的，再用 u=(3^(1/2)-1)除成奇的，再继续……。
    在这个规则下，有个循环圈子，只一个奇数，(-1)。
    由等式3^(1/2)*(-1)+1=(3^(1/2)-1)*(-1)成立知(-1)是本例规则下的一个循环圈子。
    下面看高飞的3（在本例规则下有的现象，换了规则或取值范围不一定有）。
    应用本例规则：
    x(1)=3
    （x(1)>0）
    代入方程为3^(1/2)*3+1=(3^(1/2)-1)*(5+2*3^(1/2))
    x(2)= 5+2*3^(1/2)
   （x(2)>x(1)）
    代入方程为3^(1/2)*( 5+2*3^(1/2))+1=(3^(1/2)-1)*(11+6*3^(1/2))
    x(3)= 11+6*3^(1/2)
   （x(3)>x(2)）
    代入方程为3^(1/2)*(11+6*3^(1/2))+1= (3^(1/2)-1)*(26+15*3^(1/2))
    ……
   这样写下去是写不完的,所需证明如下
   因0<(3^(1/2)-1)<1，于是有0<(3^(1/2)-1)^m(n-1)<1成立（m(n-1)为正整数）.而且有3^(1/2)>1，x(n)>0，(n为正整数)
    于是x(n)>((3^(1/2)-1)^m(n-1))*x(n)= 3^(1/2)*x(n-1)+1>
3^(1/2)*x(n-1)>x(n-1)成立，即x(n)>x(n-1)成立(n>1)，这就证明了从3开始，用本例规则，结果远走高飞，永不循环！

回复 #19 laodiao8014 的帖子

事实上可以有更简单的证明方法。如果我们分别单看奇变换和偶变换的话，二者都会使正数增大至至少原来的sqrt(3)倍，这样的话这个数列显而易见是发散的。

3x+1问题推广后低飞一例

二十六.低飞一例

这里举一例，x(1)=2-3^(1/2)，用本例规则，在区间（0，1）里低空飞翔的，娱乐一下，后面证明较哆嗦，有兴趣可以看一下，如有不对请网上高手多多指教。

先看看方程组：

1.  进入某循环的

……

k*x(-2)+1=u^m(-2)*x(-1)

k*x(-1)+1=u^m(-1)*x(0)

k*x(0)+1=u^m(0)*x(1)

k*x(1)+1=u^m(1)*x(2)

k*x(2)+1=u^m(2)*x(3)

k*x(3)+1=u^m(3)*x(4)

……

k*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)

k*x(n)+1=u^m(n)*x(1)

2. 不进入某循环的

  ……

k*x(-2)+1=u^m(-1)*x(-1)

k*x(-1)+1=u^m(0)*x(0)

k*x(0)+1=u^m(0)*x(1)

k*x(1)+1=u^m(1)*x(2)

k*x(2)+1=u^m(2)*x(3)

k*x(3)+1=u^m(3)*x(4)

……

k*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)

……

这是推广3x+1问题所用方程组

令k=3^(1/2)，u=(3^(1/2)+1),这样方程组就表示在3^(1/2)所生成整环内的3x+1问题，x的取值范围为形如s+t*3^(1/2)的代数整数，s和t为普通整数。

奇偶规则为：s+t为奇数时，x= s+t*3^(1/2)为奇代数整数；s+t为偶数时，x= s+t*3^(1/2)为偶代数整数。

3x+1规则为：把一个奇代数整数乘3^(1/2)加1，变成偶的，再用 u=(3^(1/2)+1)除成奇的，再继续……。

u=(3^(1/2)+1)约等于2.73205

令x(1)=s(1)+t(1)* 3^(1/2)=2+(-1)* 3^(1/2)，这样x(1)约等于0.268

s(1)=2，t(1)=（-1）

则x(2)=s(2)+t(2)* 3^(1/2)=7+(-4)* 3^(1/2)，这样x(2)约等于0.072

s(2)=7，t(2)=(-4)

x(3)=s(3)+t(3)* 3^(1/2)=16+（-9）*3^(1/2)，这样x(3)约等于0.412

s(3)=16，t(3)=（-9）

x(4)=s(4)+t(4)* 3^(1/2)=(-50)+29*3^(1/2)，这样x(4)约等于0.228

s(4)=(-50)，t(4)=29

x(5)=s(5)+t(5)*3^(1/2)=163+(-94)*3^(1/2)，这样x(5)约等于0.192

s(5)=163，t(5)=(-94)

……

（s(i)，t(i)均为整数，i取值为正整数。）

这样算是算不完的（小数算的可能不太精确，还请高手指教）

简单观察可发现两个现象

第一：x(1)，x(2)，x(3)的值均在0和1之间，后面的是否都如此？

第二：有理部分ABS(s(1))<ABS(s(2))<ABS(s(3))，无理部分ABS(t(1))<ABS(t(2))<ABS(t(3))，s(i)和t(i)一正一负出现的，后面的是否也这样？(ABS()表示绝对值)。

第一个现象好说，看看方程k*x(1)+1=u^m(1)*x(2)

k=3^(1/2)，0<x(1)<1，于是k*x(1)+1<3^(1/2)+1，但u^m(1)=(3^(1/2)+1)^m(1)>=3^(1/2)+1，故

0<x(2)= (k*x(1)+1)/(u^m(1))<1，依此类推，有0<x(n)<1

第二个现象复杂一些，如果后面也这样，则算下去绝无循环圈。

同样看方程3^(1/2)*x(1)+1=u^m(1)*x(2)，把x(1)=s(1)+t(1)*3^(1/2)，x(2)=s(2)+t(2)*3^(1/2)，u=3^(1/2)+1代入得

3^(1/2)*( s(1)+t(1)*3^(1/2))+1=(3^(1/2)+1)^m(1)*( s(2)+t(2)*3^(1/2))

注：s(1)=2,t(1)=(-1),一正一负（异号），ABS(s(1))>=1,ABS(t(1))>=1

两边同乘(3^(1/2)-1)^m(1)得

(3^(1/2)*( s(1)+t(1)*3^(1/2))+1)* (3^(1/2)-1)^m(1)=2^m(1)*( s(2)+t(2)*3^(1/2))

两边同除以2^m(1)得

(3^(1/2)*( s(1)+t(1)*3^(1/2))+1)* (3^(1/2)-1)^m(1)/2^m(1)=( s(2)+t(2)*3^(1/2))

令(3^(1/2)-1)^m(1)/2^m(1)=(am)+(bm)*3^(1/2)

可用数学归纳法证明ABS(am)>=1/2,ABS(bm)>=1/2,am和bm异号(一正一负)

例如m(1)=1时，am=(-1/2),bm=1/2

m(1)=2时，am=1,bm=(-1/2)

m(1)=3时，am=(-5/4),bm=3/4

……

把(3^(1/2)-1)^m(1)/2^m(1)=(am)+(bm)*3^(1/2)代入方程得

(3^(1/2)*( s(1)+t(1)*3^(1/2))+1)*( (am)+(bm)*3^(1/2)) =s(2)+t(2)*3^(1/2)

左边整理后方程变为

((am)*(3*t(1)+1)+3*(bm)*s(1))+((am)*s(1)+b*(3*t(1)+1))*3^(1/2) =s(2)+t(2)*3^(1/2)

于是s(2)= (am)*(3*t(1)+1)+3*(bm)*s(1)

t(2)= (am)*s(1)+b*(3*t(1)+1)

利用s(1)=2,t(1)=(-1),一正一负（异号），ABS(s(1))>=1,ABS(t(1))>=1

和ABS(am)>=1/2,ABS(bm)>=1/2,am和bm异号(一正一负)

可得ABS(s(1))<ABS(s(2)), ABS(t(1))<ABS(t(2))

并且s(2)和t(2)也是异号（一正一负）

注：后面ABS(s(i))>=2,ABS(t(i))>=1,当i>=2时

依此类推，有ABS(s(i))<ABS(s(i+1)), ABS(t(i))<ABS(t(i+1))

并且s(i+1)和t(i+1)也是异号（一正一负）

这就证明第二个现象往后是成立的。