奇偶数概念的推广

前一阵子发帖子聊了一下3x+1问题,感谢尊敬的fwjmath指点,使我不至于走弯路.
      总觉得在代数整数范围内的奇偶数概念要说清楚，现在就奇偶数的概念推广一下，有不当之处敬请指教，自已找不到资料，谁要是找到现成的书或资料麻烦告诉我一声.
      一.先看看整数范围内的奇偶数性质：
       1. 偶数加偶数是偶数。
       2. 奇数加奇数是偶数。
       3. 偶数加奇数是奇数。
       4. 2和（-2）能整除整数范围内所有的偶数,地位比较特殊。
       5. 整数集等于偶数集加奇数集。
     二.代数整数范围内的奇偶数及其性质，用两个具体的例子吧！
   （一）.若x是复整数，形如s+t*i，i是虚数单位，s和t均为普通整数，构成复整数环（高斯整环）。（复整数是代数整数的一种）。
   奇偶性规则是：s+t为偶数时，s+t*i是偶复整数，s+t为奇数时，s+t*i是奇复整数。
   显然仍有：
       1.偶加偶还是偶的.
       2. 奇加奇也是偶的.
       3. 奇加偶的是奇的。
       4.(1+i),(1-i),(-1+i),(-1-i)这四个偶复整数，地位也比较特殊，能整除复整数环内所有偶复整数。
       5. 复整数环内恰巧分为奇复整数和偶复整数。
      例如：1，i,2+i,1+2*i这几个是奇复整数；2，2*i,1+i,3+5*i,这几个是偶复整数。
     （二）若x是根号下2（即2^(1/2)）生成的数，形如r+s*2^(1/2)的代数整数，构成一个代数整数环，r和s是普通整数。
     奇偶性规则：r是偶数时,称x=r+s*2^(1/2)是偶的,r 是奇数时,称x=r+s*2^(1/2)是奇的。
    显然有
    1.偶加偶还是偶的.
    2.奇加奇也是偶的.
    3.奇加偶的是奇的。
    4.2^(1/2)和（-2^(1/2)）这两个偶代数整数，地位也比较特殊，能整除所有形如r+s*2^(1/2)的偶代数整数,(在2^(1/2)生成的代数整数环内)。
    5.此代数整数环内恰巧分为奇代数整数和偶代数整数。
    例如，-3-2*2^(1/2)，3，-7+2^(1/2)，这几个是奇代数整数。
            2+3*2^(1/2)，4，-10+9^(1/2)，这几个是偶代数整数。
     (三)当然，还可以在别的代数整数环里规定奇偶代数整数。
    在一些代数整数环里类似于(1+i),(1-i),(-1+i),(-1-i)地位特殊的偶代数整数还不只四个.
    例如在3^(1/2)生成的代数整数环里，形如r+s*3^(1/2)的代数整数,规定r+s为偶数时, r+s*3^(1/2)为偶代数整数,r+s为奇数时, r+s*3^(1/2)为奇代数整数..有3^(1/2)+1，3^(1/2)-1，-3^(1/2)+1，-3^(1/2)-1，5+3*3^(1/2), 5-3*3^(1/2), -5+3*3^(1/2), -5-3*3^(1/2),这八个偶代数整数均能整除3^(1/2)生成的代数整数环里所有的偶代数整数.(不知道这个环里还有没有别的这样特殊地位的偶代数整数).
     三.如果代数整数环R内可以规定奇偶代数整数.
     有奇偶性质:
    1.偶加偶还是偶的.
    2.奇加奇也是偶的.
    3.奇加偶的是奇的。
    4.此代数整数环内恰巧分为奇代数整数和偶代数整数。
    少了个性质:某一个偶代数整数u能整除环R内所有的偶代数整数.
    (也就是此整环R内不存在这样的偶元u,此u能整除R内所有的偶元).
    例如,由2^(1/2)和3^(1/2)生成的整环R,此环中一个元x,形如r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+v*6^(1/2),r,s,t,v均为普通整数,奇偶性规定为:当r+s为奇数时,x= r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+ v*6^(1/2)为奇代数整数,当r+s为偶数时,x= r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+ v*6^(1/2)为偶代数整数.若存在一个偶元u能整除R内所有的偶元,则u能同时整除(3^(1/2)-1)和2^(1/2),但2^(1/2)的因子只有单位数(么数)和正负根号下2,( 即2^(1/2), -2^(1/2)),u只能取值为2^(1/2)或(-2^(1/2)),这两个数都不能整除(3^(1/2)-1),故这样的u不存在.
     四.还可以在许多整环R内定义奇偶元,这样就推广了整数环内的奇偶数.
     如有兴趣,可以把许多整数环内涉及到奇偶数的问题推广,不光是3x+1问题,比如说哥德巴赫猜想，推广到复整数环，就是一个偶复整数，能否表示成某两个不可约的奇复整数之和，等等。

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-6-16 22:36 编辑 [/i]]

事实上不需要这么复杂阐述这些东西。任意的环A有加法运算+和乘法运算×，那么我们定义B={x | 存在y属于A使 x = y + y}为A中的偶元素的集合。那么B就满足你说的所有条件，而且构成A的一个子环。
你说的“复数整数”在数学上叫高斯整数，与一般的整数域很相似，但是也有不同的地方。

推广奇偶概念定义再讨论

看了尊敬的fwjmath先生的回复，觉的象一把锋利的奥卡姆剃刀，我也应该学学精简。
       现在也弄一个定义，不过要稍复杂一点。
       设有一整环R，R中的元素均为代数整数,（有加法“+”，有乘法“*”，有单位元1，可交换，不含零因子）。
       R中的元素分成两类，计为集合A,集合B，A和B的并集恰巧等于R,单位元1属于A，零元0属于B,设a,a1,a2等是A中任意元，b,b1,b2等是B中任意元（不包括零元）。
       在R中，若A和B的元素有如下性质：
       1.(a1+a2)属于B.
       2.(b1+b2)属于B.
       3.(a1+b1)属于A.
       4.(a1*a2)属于A.
       5.(b1*b2)属于B.
       6.（a1*b1)属于B.
       则称环R中，集合A中的任一元a是奇代数整数，集合B中的任一元b是偶代数整数。
      （零元0规定为偶代数整数）。

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-6-21 07:51 编辑 [/i]]

觉得这样的定义不好，一个是有一些概念，比如说整除，本来在环中是未定义的，同样的问题还有因子；第二个是“整环”本身就没有定义；最后就是3.中u*s=2不正确，因为*是对环封闭的，而2未必属于这个环。

把范围限定一下

本来是由3x+1问题派生出来的，需要弄清代数整数的奇偶性问题，看来还是在代数整数范围内好弄些,把R定义为代数整数构成的环，这样定义好了后也满足需要。
       在代数整数内，“2”这个元素就有了，“整除”，“因子”均有定义，代数整数也能构成“整环”。
        已经修改了一下，看看还有没有漏洞？

回复 #5 laodiao8014 的帖子

仍然有问题。
如果我令集合B={0}的话，完全满足你的所有条件，但是这个想必不是你想要的集合。

[[i] 本帖最后由 fwjmath 于 2008-6-20 18:17 编辑 [/i]]

还是有漏洞！再修改一下，令A和B的并等于R，这样只能讨论两个集合对象。
        看来借助于2有局限性，当环R的生成元较多时，R的一个元素b可能含有很复杂的因子，找到一个式子u*s=2好象比较难，还是用集合的方法定义。
        看看重新编辑的定义有没有毛病，或者有多于的？

回复 #7 laodiao8014 的帖子

仍然有问题。
由5,6，我们可以知道，对于任意元素(a,b)属于R×B，ab属于B。这样的话B构成乘法群（R\{0},×）的一个理想（ideal）。如果这个B包含乘法单位元1的话，我们可以知道B就是全集R。
然后我们来考虑x^2+x+1的两个复数根w1=-1/2+i*sqrt(3)/2和w2=-1/2-i*sqrt(3)/2。根据定义它们是代数整数。如果w1和w2任一属于B的话，应用（6）可以知道w1w2属于B，而w1w2=1，乘法单位元属于B，所以在这种情况下B是全集R，A是空集。如果w1和w2都属于A的话，应用(1)，w1+w2属于B，而w1+w2=-1，所以-1属于B，又因为B是一个理想，-1*-1=1也属于B，同样我们得到B是全集R，A是空集。
这个的确很难定义，不过我觉得还是有希望的。

问题多多

认真想了想,问题是不少.
所举的例子也就这么两三个,而整环有无限多个,现在只知道奇偶性质肯定可以推广,只是正确的推广方法还不太明白.
从3x+1问题来说,应该是成功推广了x的取值范围.
不过也是娱乐,可以请教专家呀!

回复 #8 fwjmath 的帖子

认真看了尊敬的fwjmath先生的回复,考虑了x^2+x+1的两个复数根w1=-1/2+i*sqrt(3)/2和w2=-1/2-i*sqrt(3)/2所生成的整环R,按奇偶定义,产生了矛盾.我给出两个解释:
     1.确实有无法定义奇偶性的整环,企图在此定义奇偶性当然是白费力气.比如x^2+x+1的两个复数根生成的整环,w1和w2是生成元,但还是单位元.而在2^(1/2)生成的整环中,2^(1/2)不是单位元,两个整环的生成元性质大不一样,可能生成元是关键,导致其所在整环奇偶性质.
      2.所给定义条件是否过多,导致推广推的不够,能否有更巧妙更合理的定义把x^2+x+1的两个复数根生成的整环定义出奇偶性.(前面所给定义至少成功定义了2^(1/2)生成的整环的奇偶性).

回复 #8 fwjmath 的帖子,再猜测一下

定义有这两个字,"......,若,......,则,......",表示满足条件后再定义奇偶性,归谬法能证明某个环不满足前述6个条件.
      R分成A和B后,"若"有所述6条性质,"则"可以可定义奇偶性,实际上x^2+x+1=0的根w1和w2生成的整环不能满足前面所述6条性质,就没有奇偶性.但它有个子环,既整数环Z,在Z里面还是有奇偶性.6条性质局限于其子环Z里.
       2^(1/2)所生成环里,也包含整数环Z,Z有奇偶性,由于2^(1/2)的性质和w1不同,导致它所生成的元继承了Z的6条奇偶性质.
      猜测一下:整数环Z是有奇偶性的最小的环.(某个环R,若能定义奇偶性,则必包含整数环Z).
      对不对,还请指教一下.
      (猜测不对,条件要限制一下,多谢指教.)(2008.6.25)

      再推广一下(不限定为"整环",前面都要求是整环)
     设有一环R，有加法“+”，有乘法“*”，有单位元1，可交换。
       R中的元素分成两类，计为集合A,集合B，A和B的并集恰巧等于R,单位元1属于A，零元0属于B,设a,a1,a2等是A中任意元，b,b1,b2等是B中任意元（不包括零元）。
       在R中，若A和B的元素有如下性质：
       1.(a1+a2)属于B.
       2.(b1+b2)属于B.
       3.(a1+b1)属于A.
       4.(a1*a2)属于A.
       5.(b1*b2)属于B.
       6.（a1*b1)属于B.
       则称环R中，集合A中的任一元a是奇元，集合B中的任一元b是偶元。
      （零元0规定为偶元）。
举一例如下:
      模12有12 个元素（剩余类）（为(0),(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11)），构成一个环R，A中元素为(1),(3),(5),(7),(9),(11)，这几个是奇元，而B中元素为(0),(2),(4),(6),(8),(10)，这几个是偶元。
为区别，设加法为（+），乘法为（*），（“+”是普通加法，“*”是普通乘法）
设（x）和(y)为模12中任意元，（x）（+）(y)=（(x+y）mod 12)，例：（1）（+）(2)=（(1+2）mod 12)=（3）
（x）（*）(y)=（(x*y）mod 12)，例：（2）（*）(5)=（(2*5）mod 12)=(10)
注：x mod 12表示x除以12所得余数。
模12的元素分成A,B后,对(*)和(+)运算,满足六条性质,证明奇偶性可以推广到某些环(不要求一定是整环).只要是偶数做模都行,如2,4,6,8,等等.但奇数做模不行.

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-7-19 18:04 编辑 [/i]]

回复 #10 laodiao8014 的帖子

我觉得你现在修改之后的定义也很符合人们对于奇偶性的日常理解，所以估计是可以的。而代数整数不能定义奇偶性恐怕是它本身的性质所致。
整数环并不是有奇偶性的最小的环。事实上，Z/2Z，也就是只由0和1组成的环（加法取逻辑异或，乘法取逻辑与）是可以定义奇偶性的。

试讨论奇偶性推广后两点性质

在代数整数中推广了奇偶性,一直在想其性质,这里有些性质试讨论一下.对不对还请各位高手多多指点.
       第一个性质:奇偶性对一个代数整数x是不变的
       比如说,2是个偶数,无论走到哪里都说2是偶的,没有疑问.
        3是个奇数,无论走到哪里都说3是奇的,也没问题.
        但2^(1/2)呢?在其所生成整环里,按奇偶性推广的定义,是个偶的,但是不是跑到哪里它都是偶的呢?在任何一个整环R1中,如果有2^(1/2)这个元,R1中还能定义奇偶性,则2^(1/2)只能定义成偶的,不可能定义成奇的,否则会引起矛盾.
        3^(1/2)呢?在其所生成整环里,按奇偶性推广的定义,是个奇的,但是不是跑到哪里它都是奇的呢?在任何一个整环R2中,如果有3^(1/2)这个元,R2中还能定义奇偶性,则3^(1/2)只能定义成奇的,不可能定义成偶的,否则会引起矛盾.
        猜测一下: 任意一个代数整数x,如果在某个代数整数环R中能定义成奇的,则不可能在别的代数整数环中定义成偶的;如果在某个代数整数环R中能定义成偶的,则不可能在别的代数整数环中定义成奇的.
        第二个性质:一些代数整数环所定义的奇偶性是相关联的(有些继承的成分,也有区别),举一例说明.
       看看整数环Z,复整数环G,四元整数环S.
       Z和G就不用多说了, S要说明一下:
      设S内的元素是四元数,形如x=a+b*i+c*j+d*k,其中a,b,c,d均为普通整数,i^2=j^2=k^2=-1,i*j=k,j*k=i,k*i=j,j*i=-k,k*j=-i,i*k=-j.由于a,b,c,d均为普通整数,在S内,x按四元数的加法和乘法使S构成一整环,(乘法不可交换).
       按奇偶数推广定义,用适当的方法把S分成某两个集合A和B,使得S=A+B,"1"在A内,"0"在B内,设a,a1,a2等是A中任意元，b,b1,b2等是B中任意元（不包括0元）。
       在S中，你发现A和B的元素有如下性质：
       1.(a1+a2)属于B.
       2.(b1+b2)属于B.
       3.(a1+b1)属于A.
       4.(a1*a2)和(a2*a1)属于A.
       5.(b1*b2)和(b2*b1)属于B.
       6.（a1*b1)和(b1*a1)属于B.
      于是能称环S中，集合A中的任一元a是奇四元整数，集合B中的任一元b是偶四元整数。 0直接规定为偶四元整数.
      事实上,这样规定奇偶性后,会发现对于一个具体的四元整数x=a+b*i+c*j+d*k
      当a+b+c+d为普通偶数时,x=a+b*i+c*j+d*k是偶四元整数
      当a+b+c+d为普通奇数时,x=a+b*i+c*j+d*k是奇四元整数.
      在x=a+b*i+c*j+d*k中, 令c=d=0,就得到复整数环G中复整数奇偶性的定义.
      在x=a+b*i+c*j+d*k中, 令b=c=d=0,就得到普通整数的奇偶性的定义.
     也就是说,定义四元整数的奇偶性不需要普通整数的奇偶性帮忙,反而定义了四元整数环S的奇偶性后,就同时定义了复整数环G和普通整数环Z的奇偶性,是相关联的.
      但明显这三个整环的奇偶性是有区别的,比如:在整数环Z和复整数环G中,均能找到一个偶元u,这个u能整除其所在环的所有偶元,于是有所谓的3x+1问题;在四元整数环S中,则不存在一个这样的偶元u(u能整除所有偶的四元整数),于是在四元整数环中没必要推广3x+1问题了.

1个小游戏

复整数的奇偶性和国象跳马问题
原题是：在9*9的国际象棋盘中，马不可能在遍历每个方格恰一次后回到出发点。
正常国际象棋盘是8*8格，黑白相间，黑32格，白32格，一起64格。但为出题目，用9*9格的，黑白相间，一共81个格子。
解答是利用马跳一步后，所经过的格子颜色变化（黑变白或白变黑），导致马跳奇数步所在格子的颜色相同，跳偶数步所在格子的颜色相同。
比如，从左下角白色格出发，跳第一步后，所在格子颜色为黑，（当然要保证在棋盘内跳），跳第二步后，白，跳第三步后，黑，……，跳第(2*n+1)步后，所在格子颜色为黑，跳第（2*n）步后，所在格子颜色为白(0<=n<=40)（n为整数）。81个格子，从左下白色格出发，马在遍历每个方格恰一次后回到出发点（白色格），要走81(奇数)步，所到的格子颜色要变为黑的，而不是左下角出发点的白色，故从左下角白色格出发，马不可能在遍历每个方格恰一次走81步后回到出发点。其它的格子证明类似，故原命题获证。
这里用复整数的奇偶性来证明，把上面的话改几个字就行了。
不过先要定义一下复坐标，设左下角白色格坐标为（1+i）,……，定义好了如下：
(1+9*i),(2+9*i),(3+9*i),(4+9*i),(5+9*i),(6+9*i),(7+9*i),(8+9*i),(9+9*i)
(1+8*i),(2+8*i),(3+8*i),(4+8*i),(5+8*i),(6+8*i),(7+8*i),(8+8*i),(9+8*i)
(1+7*i),(2+7*i),(3+7*i),(4+7*i),(5+7*i),(6+7*i),(7+7*i),(8+7*i),(9+7*i)
(1+6*i),(2+6*i),(3+6*i),(4+6*i),(5+6*i),(6+6*i),(7+6*i),(8+6*i),(9+6*i)
(1+5*i),(2+5*i),(3+5*i),(4+5*i),(5+5*i),(6+5*i),(7+5*i),(8+5*i),(9+5*i)
(1+4*i),(2+4*i),(3+4*i),(4+4*i),(5+4*i),(6+4*i),(7+4*i),(8+4*i),(9+4*i)
(1+3*i),(2+3*i),(3+3*i),(4+3*i),(5+3*i),(6+3*i),(7+3*i),(8+3*i),(9+3*i)
(1+2*i),(2+2*i),(3+2*i),(4+2*i),(5+2*i),(6+2*i),(7+2*i),(8+2*i),(9+2*i)
(1+1*i),(2+1*i),(3+1*i),(4+1*i),(5+1*i),(6+1*i),(7+1*i),(8+1*i),(9+1*i)
坐标通项为s+t*i，s和t为1到9的整数。
白色格的复坐标为偶复整数（简称偶格），黑色格的复坐标为奇复整数（简称奇格）。跳一步后，坐标变为
(s+1)+(t+2)*i，或(s+1)+(t-2)*i，或(s-1)+(t+2)*i，或(s-1)+(t-2)*i，或(s+2)+(t+1)*i，或(s+2)+(t-1)*i，或(s-2)+(t+1)*i，或(s-2)+(t-1)*i，（要保证不跳出棋盘外），坐标对应的复整数奇偶性也变了。
比如，从左下角(1+i)格出发(偶格)，跳第一步后，所在格子坐标为奇，（当然要保证在棋盘内跳），跳第二步后，偶，跳第三步后，奇，……，跳第(2*n+1)步后，所在格子坐标为奇，跳第（2*n）步后，所在格子坐标为偶(0<=n<=40)。81个格子，从左下偶格出发，马在遍历每个方格恰一次后回到出发点（偶格），要走81(奇数)步，所到的格子颜色要变为奇坐标的，而不是左下角出发点的偶坐标的，故从左下角偶坐标格出发，马不可能在遍历每个方格恰一次走81步后回到出发点。其它的格子证明类似，故原命题获证。
（权当娱乐，不要太当真，当小游戏混混时间而己，仅仅说明奇偶概念推广后可以多个看问题的方法）（如有不当之处请网上高手多多指点）

[[i] 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-7-19 17:52 编辑 [/i]]