SZDG、数系与其他
by fwjmath
SZDG是匈牙利那边的一个关于数学的分布式计算项目。据了解，很多正在计算的网友都不太清楚关于它的一些知识。俗话说，知其然，还要知其所以然。我们现在就来看看SZDG里边到底有什么东西这么值得动用大量的CPU资源。
首先，项目的目标是找出所有直到 11 阶的广义二进制数系。问题就来了：什么是数系？
数系好像很复杂，其实很简单，我们每时每刻都在接触数系。就在你阅读这篇文章的时候，不计其数的1和0正在你的计算机中流动。在计算机中使用的二进制，其实就是一种数系。二进制计数法，相信现在因特网时代的人都不会不懂，其实就是用2的各次幂的和来表达自然数，比如说：
10=2^3+2^1
其实这只是简化的形式，完整的形式如下：
10=1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0
看到了没有？容易知道这种表达方法是可以表达出所有自然数的。这就是数系，用一个整数（称为这个数系的基）的幂再乘以位值（只有 n-1 个位值）的这些积的和来表达整数。当n=2的时候我们就把它称为二进制数系。
但是，这个二进制数系实在是太弱了，没有办法表达出所有的整数，只能表示出正整数，这未免太让人失望了。我们需要的是万能的工具！其实这个“万能的工具”就潜伏在那个“有缺陷的工具”后面，只要把数系的基变为-2，这个数系就能表达出所有的整数了！表达的算法在某年的NOIP的一道题中有，各位想知道的可以去搜索一下。
你可能以为，数学家得到这样的好工具，应该能用很长时间了吧。那么，我只能遗憾的对你说，你对数学家的了解还不够。数学家都是些贪得无厌的家伙，一个工具是远远不够的。大家都知道，首先有实数，然后数学家觉得解方程不够用，于是出现了复数。当他们拿到数系这一个好工具的时候，第一个反应就是要把它用到复数中去。复数中与整数对应的就是高斯整数，就是形如a+bi，而且a和b都是整数的复数。
要知道，复数的乘法可比实数的乘法复杂多了，所以你可能会认为数系这个工具用不到高斯整数中去了。如果你这样想的话，那还是表明你不清楚数学家的本性。那些诡计多端的数学家又岂会轻易放弃呢？他们很轻易就找到了一个二进制数系的基：-1+i，而这个数系的两个值就是0和1。
数学家们在轻而易举地将数系推广到复数以后，他们贪婪的天性又发作了。他们用独有的眼光看到，复数的基其实也就是一个二阶矩阵，位值其实也是一个向量。那么，利用线性代数（这是数学家为了省事用一个字母代替很多数的方法），数学家们得到了更多的数系。
他们得到这么多的数系，应该很高兴才对吧。可是，这时候不幸的消息传来了。他们发现，对于给定的阶数，虽然矩阵有无穷多个，但是能作为数系的基的只有有限个。尽管这样子，数学家的不屈不挠还是让他们找到了一些事情干：把所有数系的基都算出来。现在，他们的计算机不够用了，就来找我们要了。
但是，我们为什么要平白无故地给他们计算呢？原来，除了数学家们关心数系，还有一群奇怪的家伙对数系也很感兴趣，他们就是密码学家，一群整天想着难题去难倒别人的人。因为一个向量的数系表达式也可以看作一个向量，而这个向量通常和原来的向量很不相同；而且如果原来的向量发生微小的变化，得出的向量会发生巨大的变化。如果没有数系的基，将原来的向量和表达式向量进行互相的转化几乎是不可能的。你看，这不就是一个现成的密码体系吗？这么好的东西，密码学家是不会放过的。所以，他们也正在关注这件事情。
朋友们，你们看，我们正在算的这东西，原来是那么有趣有用的~~~那还不赶快让别人也来算~~~
觉得不明白就在下面跟帖说明一下~~~我会尝试改进的~~~我文笔真的不好的说~~~写作真的不是我的专长~~~写得不好~~~不要见怪~~~
相关连接：
http://www.equn.com/forum/viewthread.php?tid=11657&fpage=2
[
Last edited by fwjmath on 2006-2-25 at 21:45 ]
