编程算 1+2^(1/2),(用变通的3x+1方法),发散好快.

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-4-8 21:46 编辑 ]

看起来还是比较认真的，但是我个人觉得这种尝试用方程组解决问题的方法得不出什么很有用的结果，因为3x+1问题的本质很深奥，不是简单直接的初等方法能够攻破的。3x+1的某些变种在某些公理系统中是不可证明的。
建议如果想业余研究一下的话，先看看我们翻译的3x+1资料：
http://www.equn.com/3x+1
也不要到什么东陆数学论坛了，那里的人很多都有疑似的妄想症，基本不按照逻辑说话。
这个问题拿来消遣一下是没有什么问题的，但是不要指望能解决，现在的数学还没有准备好回答这样的问题。
另外，关于循环的问题，已经有很强的结论表明一百万阶以下的循环是不存在的。
由于本版主要讨论数学类项目的程序使用问题，您的帖子将会被移动到会员交流区，敬请谅解。

fwjmath很专业，很负责

刚才上wiki查了查~~~发现这种想法别人早就很仔细地讨论过了~~~没得出什么结果来~~~数值运算也没多少人做~~~估计也是没什么用~~~

你所谓的“分水岭”对于3x+1问题完全没有用处。你这个方法的用处是证明不存在循环，也就是说不存在这样的组合使你的第六部分中的a=b。但是这并不容易，甚至可以说是很困难，因为它涉及到的东西很基本，比如说进位制等等。而且你的这种方法前人早已想过，根据我查到的资料来看你现在还很落后于前人。以上是意见。
请发帖前先看看别人对你观点的意见，这样也是对别人的一种尊重，否则如果别人不能在你的帖子里得到教益，这个帖子也没有存在的意义。
以上是警告，请“讨论”而不是“演讲”，这里有不少人的水平至少不低于你的。
如果继续这样的话，我会考虑作灌水处理。
以上抄送短信息。

兄弟，或许有时候表太认真，我的意思是说，对待不去认真想想的情况，别人自己都不用心，你就更不需要这么用心了，我想，你的时间用在别的地方要比用在这里更划得来。

移到水版了。。没有犯规就随他演说吧～

十五.3x+1问题与代数数
对3x+1问题中，把一个偶数除以2，改成除以根号下2，即2的2分之1次方（2^(1/2)）,这样对原有整数运算没有改变。
例：1，4，2*2^(1/2),2,2^(1/2),1。
方程组中原有的2变成2^(1/2),成为：
3*x(-2)+1=(2^(1/2))^m(-2)*x(-1)
          3*x(-1)+1=(2^(1/2))^m(-1)*x(0)
          3*x(0)+1=(2^(1/2))^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=(2^(1/2))^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=(2^(1/2))^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=(2^(1/2))^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=(2^(1/2))^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=(2^(1/2))^m(n)*x(1)
解的公式变为：
a =  3^(n-1)  +  3^(n-2)*( (2^(1/2))^(m(1)))  +3^(n-3)*( (2^(1/2))^(m(1)+m(2)))  +……+3*(2^(1/2))^(m(1)+m(2)+m(3)+……+m(n-2) ) +  (2^(1/2))^(m(1)+m(2)+……+m(n-1))  
b  =  (  (2^(1/2))^(m(1)+m(2)+……+m(n-1)+m(n) )   - 3^n  )
x(1) =a / b
这样，x的范围扩展到代数数，有没有代数整数解？（1这样的整数就算了）。看看-3-2*2^(1/2)
(规则稍变一下，乘3加1后，分母不变，把分子里公共的“2^(1/2)”因子除完)
(被乘3的数是r+s*2^(1/2)形式的数，r,s为整数，r为奇数)
-3-2*2^(1/2)--->-9-6*2^(1/2)--->-8-6*2^(1/2)--->-4*2^(1/2)-6---->-4-3*2^(1/2)---> -2*2^(1/2)-3
看，是个圈子，还是个代数整数。
在公式中，令m(1)=3,m(2)=3,n=2,得x(1)=(3+2*2^(1/2))/(8-9)=-3-2*2^(1/2)
令m(1)=1,m(2)=5,n=2,还可得到解-3-2^(1/2),还有-3-4*2^(1/2)
充分利用分母（8-9），把2的1/2次方变成2的1/y次方，（y是大于等于2的整数），适当对m(1),m(2)取值，保证分母为（8-9），可得无限个方程组和代数整数解，都是圈子，都和-5,-7类似。
可惜用公式算还是代数整数解少，大部分有分母(不为正负1的)。
看看1+2^(1/2),-->3+3*2^(1/2)----->4+3*2^(1/2)---->2*2^(1/2)+3--->6*2^(1/2)+9--->
6*2^(1/2)+10----->3*2^(1/2)+5……，也不知道会算到哪去？
尊敬的fwjmath先生,用这个变通的规则算1+2^(1/2),麻烦您问问高手有没有现成的答案.这样弄很好玩,纯粹娱乐.

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-3-24 18:43 编辑 ]

算了一下，似乎是发散的。
不过也很好理解。二分之一的机会乘以3加一再除以根号二，二分之一的机会直接除以根号二，发散的可能性很大。
当然这不是严格的证明，不过我觉得这个应该是发散的，因为条件太软弱了。

[ 本帖最后由 fwjmath 于 2008-3-24 06:52 编辑 ]

<P>十六. 正负整数搅在一堆的3x+1问题</P>
<P>     在3x+1问题中，把除以2换成除以负2，看看会如何？</P>
<P>方程组变为： ……
      3*x(-2)+1=（-2）^m(-2)*x(-1)
      3*x(-1)+1=（-2）^m(-1)*x(0)  
       3*x(0)+1=（-2）^m(0)*x(1)
       3*x(1)+1=（-2）^m(1)*x(2)
       3*x(2)+1=（-2）^m(2)*x(3)
       3*x(3)+1=（-2）^m(3)*x(4)
        ……
      3*x(n-1)+1=（-2）^m(n-1)*x(n)
      3*x(n)+1=（-2）^m(n)*x(1)
<P>解的公式就算了。</P>
<P>例：1,4,-2,1,这个圈子还有，（相对于3x+1问题除以2的）</P>
            3，10，-5，-14，7，22，-11，-32，16，-8，4，-2，1，进入圈子了.
            5，16，……，1，进入圈子了。
            -1，-2，1，好，-1被1收编了。
            -3，-8，4，-2，1，也被1收下了。
            -7，-20，10，-5，……，1，又是1的货。
           -17，-50，25，76，-38，19，58，-29，-86，43，130，-65，-194，97，292，-146，73，220，-110，55，166，-83，-248，-62，31，94，-47，-140，70，-35，-104，52，-26，13，40，-20，……，也没逃出1的手掌心。</P>
计算能力有限，不知除了1，4，-2，1，这个圈子，还有没有别的（指乘3加1除以负2这种规则的）。
用公式解的话，没有分母等于（8-9）这种便宜货了（是-8-9），指数m(n)为2的解是1还可以利用。编程好麻烦，求助，求助，求助！

十七.  3x+1问题的一个子问题
1.  还是从方程组出发，把除以2变成除以4（即2^2）。
方程组变为：  ……
          3*x(-2)+1=4^m(-2)*x(-1)
          3*x(-1)+1=4^m(-1)*x(0)
          3*x(0)+1=4^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=4^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=4^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=4^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=4^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=4^m(n)*x(1)
(规则变成把一个奇数乘3加1除以4，但这里要求结果是整数，而且只讨论正整数。)
2. 先看1，1 --->4 --->1,圈子还在。
再看113,113-->340--->85--->256--->64--->16--->4--->1。
故此处方程组整数解集非空，记为解集十七，第九段列的方程组的整数解集记为解集九，显然，解集九包含解集十七，解集十七里能找到的圈子解集九里也有。（这就是一个子问题，这里难度明显小多了）。
    3这个数显然不是解集十七里面的，按规则，3-->10,10无法用4除了，除成分数了。
3.  因为是除以4^m(n)，而m(n)大于等于1,所以序列中只看奇数是单调递减的，因而这里没有航班无限的解，故不用列航班无限的方程组了。
   比如上面例子中，113大于85,85大于1。
4.解集十七里有几个圈子？只有1，4，1这一个。
用公式解找整数解，圈子只一个数的只有1，4，1（指奇数），若还有别的圈子，就要圈子中奇数个数大于1了，圈子中（只看奇数）个数大于等于2个的，设圈子为x(1),x(2),……，x(n)，必有一个最小整数，不失一般性，记为x(1),x(1)大于1，则有方程3*x(1)+1=4^m(1)*x(2)，但从方程看，由于有4^m(1),又要求x(1)比x(2)大，矛盾。

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-3-26 10:32 编辑 ]

这些问题有趣是很有趣，但是也就是这么回事，无论是对于解决3x+1问题还是编程验证都没什么用处。

十八：也是正负整数混在一起的(有虚代数整数的)
在3x+1问题中，把除以2换成除以（-2）^(1/2)，看看会如何？
注：（-2）^(1/2)是个虚数。
方程组变为： ……
3*x(-2)+1=（（-2）^(1/2)）^m(-2)*x(-1)
3*x(-1)+1=（（-2）^(1/2)）^m(-1)*x(0)
3*x(0)+1=（（-2）^(1/2)）^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=（（-2）^(1/2)）^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=（（-2）^(1/2)）^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=（（-2）^(1/2)）^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=（（-2）^(1/2)）^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=（（-2）^(1/2)）^m(n)*x(1)
解的公式就算了。
x 的取值范围是s + t*（-2）^(1/2)形式的数，s,t均为整数。t为0时，x是整数,t不为0时，x是代数整数，且是个虚数。
(规则再变一下，乘3加1后，分母不变，把分子里公共的“（-2）^(1/2)”因子除完)
(被乘3的数是r+s*（-2）^(1/2)形式的数，r,s为整数，r为奇数)
<P> </P>
相对于十六段，（-2）^(1/2)不改变-2对原有整数的运算。
例：1，4，-2*（-2）^(1/2)， -2 ， （-2）^(1/2)， 1，这个圈子还有。
在x取值为s + t*（-2）^(1/2)形式且 s和t不为0时，不知道能不能找到圈子。
看看 1+（-2）^(1/2)，用“乘3加1后，分母不变，把分子里公共的“（-2）^(1/2)”因子除完“这个规则算一下：4+3*（-2）^(1/2)---->-2*（-2）^(1/2)+3---->-6*（-2）^(1/2)+10---->3*（-2）^(1/2)-5----->9*（-2）^(1/2)-14---->9+7*（-2）^(1/2)……，不知道算下去是进入一个圈子，还是发散?
尊敬的fwjmath先生,有个东西问一下,形如s + t*（2）^(1/2)的代数整数,把2^(1/2)看成象2一样的偶数因子,当s是偶数时能不能把s + t*（2）^(1/2)看成"偶的",用2^(1/2)除s + t*（2）^(1/2)商还是一个代数整数,当s是奇数时能不能把s + t*（2）^(1/2)看成"奇的",这时用2^(1/2)除s + t*（2）^(1/2)商不是一个代数整数,而且偶的加偶的还是偶的,奇的加奇的也是偶的,和整数中数的奇偶性质一样.这样有奇和偶的规定后,十五段中"把公共的2^(1/2)因子除完"就好理解了.不知道这样看奇偶性是否合理?

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-4-30 18:44 编辑 ]

这个实际上是和除以2^(1/2)是一样的，就是符号不同而已。你的奇偶性的看法也是可取的。
实际上可以随意定义多个整数的运算规则，不一定要限制在复数的模型中。
这个涉及的理论就很广了，我觉得连最简单的3x+1问题的解决都已经很困难了，更广泛的结果可能已经超出我们时代的范围了。
不过也不一定~~~看看吧~~~

十八段中,x的取值范围是复数:s + t*（-2）^(1/2),相当于复平面中的向量,乘3加1和除(-2)^(1/2)均有几何意义,特别是除(-2)^(1/2),不光是要把偶的除成奇的,还把一个向量的幅角顺时针旋转一个角度.这样原先的代数问题,可以有几何旋转图象了.如果进入循环,向量的幅角变化也要循环(角度变化有周期).感觉这样看,直观一些,可以在坐标平面上标些整点了.
尊敬的fwjmath先生,不知这样看是把问题弄简单了还是弄复杂了?

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-5-7 22:11 编辑 ]