先向灾区的同胞表示慰问和关心,祝汶川的网友好运!
十九.在复整数范围内的3x+1问题
在方程组中，把右边的2换成(1+i),看看如何？
（如不嫌麻烦，-1+i ,-1-i,1-i,都可以拿来试试。）
（i是虚数单位，i^2=-1）
方程组变为
3*x(-2)+1=（1+i）^m(-2)*x(-1)
3*x(-1)+1=（1+i）^m(-1)*x(0)
3*x(0)+1=（1+i）^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=（1+i）^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=（1+i）^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=（1+i）^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=（1+i）^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=（1+i）^m(n)*x(1)
解公式就算了
这里x的范围是复整数，形如s+t*i，s和t均为整数，奇偶性规则是：s+t为偶数时，s+t*i是偶的，s+t为奇数时，s+t*i是奇的。显然仍有偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇加偶的是奇的。例如：1，i ,2+i ,1+2*i 这几个是奇的；2，2*i ,1+i ,3+5*i ,这几个是偶的。
3x+1规则变通一下，把x乘3加1后，用（1+i）除成奇的为止，再乘3加1，……。
上面的规则合不合理请尊敬的fwjmath先生评判.
注：1/(1+i)=(1-i)/2
有没有复整数解，看看1+2*i :
1+2*i---->4+6*i---->((4+6*i)*(1-i))/2----->3-2*i--->-4-i--->-7+4*i--->1-4*i--->1+2*i
是个圈子，都是复整数。
用公式解，令m(1)=2,m(2)=3,m(3)=1,m(4)=5,m(5)=5,n=5,代入公式中，a=81+54*i-36-36*i-24*i-32+32*i=13+26*i, b=(1+i)^16-3^5=256-243=13,于是x=a/b=1+2*i
再看看1：1-->4-->4*(1-i)/2=2*(1-i)---->-1--->i----->2+i--->5-2*i--->-3-8*i----->1-2*i,……，不知后面会算到哪里？
<DIV>
<P>二十.3x+1问题中的共轭现象</P>
<P>在方程组中，把右边的2换成(1-i),看看如何？</P>
（i是虚数单位，i^2=-1）
<P> 方程组变为</P>
3*x(-2)+1=（1-i）^m(-2)*x(-1)
3*x(-1)+1=（1-i）^m(-1)*x(0)
3*x(0)+1=（1-i）^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=（1-i）^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=（1-i）^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=（1-i）^m(3)*x(4)
<P>……</P>
3*x(n-1)+1=（1-i）^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=（1-i）^m(n)*x(1)
<P>解公式就算了</P>
<P>这里x的范围是复整数，形如s+t*i，s和t均为整数，奇偶性规则是：s+t为偶数时，s+t*i是偶的，s+t为奇数时，s+t*i是奇的。显然仍有偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇加偶的是奇的。例如：1，i ,2+i ,1+2*i 这几个是奇的；2，2*i ,1+i ,3+5*i ,这几个是偶的。</P>
<P>3x+1规则变通一下，把x乘3加1后，用（1-i）除成奇的为止，再乘3加1，……。</P>
<P>注：1/(1-i)=(1+i)/2</P>
<P>有没有复整数解，看看1-2*i :</P>
1-2*i---->4-6*i---->((4-6*i)*(1+i))/2------->3+2*i--->-4+i--->-7-4*i--->1+4*i--->1-2*i
<P>是个圈子，巧的是，这个圈子中的复整数和十九段中找的圈子中的对应的复整数共轭，用解公式，对应的指数m也是一样的，m(1)=2,m(2)=3,m(3)=1,m(4)=5,m(5)=5,n=5,代入公式得a=81-54*i-36+36*i=24*i-32*i-32=13-26*i,b=256-243=13,x(1)=1-2*i.</P>
<P>注：方程u^8-16=0的八个根恰巧为1-i,1+i,-1-i,-1+i,2^(1/2),(-2)^(1/2),-2^(1/2),-(-2)^(1/2),也就是前面换方程组右边2 的数。</P></DIV><DIV>
<P>二十一.利用共轭现象</P>
<P>第十九段和二十段找了一对共轭圈子，第十八段把方程组右边的2换成（-2）^(1/2)，找了一个圈子，现把方程组右边的2换成-（-2）^(1/2)，看看如何？</P>
<P>注：-（-2）^(1/2)是个虚数，和（-2）^(1/2)共轭。</P>
<P>方程组变为： ……</P>
<P> 3*x(-2)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(-2)*x(-1)</P>
<P> 3*x(-1)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(-1)*x(0)</P>
<P> 3*x(0)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(0)*x(1)</P>
<P>3*x(1)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(1)*x(2)</P>
<P>3*x(2)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(2)*x(3)</P>
<P>3*x(3)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(3)*x(4)</P>
<P>……</P>
<P>3*x(n-1)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(n-1)*x(n)</P>
<P>3*x(n)+1=（-（-2）^(1/2)）^m(n)*x(1)</P>
<P>解的公式就算了。</P>
<P>x 的取值范围是s + t*（-2）^(1/2)形式的数，s,t均为整数。t为0时，x是整数,t不为0时，x是代数整数，且是个虚数。</P>
<P>奇偶性规则为：当s为偶数时，s + t*（-2）^(1/2)为偶的；当s为奇数时，s + t*（-2）^(1/2)为奇的。显然仍有偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇的加偶的是奇的。</P>
<P>(规则再变一下，乘3加1后，分母不变，把分子里公共的“-（-2）^(1/2)”因子除完，除成奇的)</P>
<P>(被乘3的数是r+s*（-2）^(1/2)形式的数，r,s为整数，r为奇数)</P>
<P>利用共轭现象，和十八段的圈子比较,有一组整数解：3+2*(-2)^(1/2)------>-5-3*(-2)^(1/2)------>9-7*(-2)^(1/2)------>21+14*(-2)^(1/2)------>21-16*（-2）^（1/2）------>3+2*(-2)^(1/2)。是个和十八段中的圈子中奇数共轭的圈子</P>
<DIV>
<P>用解公式，m(1)=2,m(2)=1,m(3)=1,m(4)=3,m(5)=9,n=5, 代入解公式，a=39+26*(-2)^(1/2),b=256-243=13,则x(1)=a/b=3+2*(-2)^(1/2)</P></DIV></DIV>
二十二.3x+1问题和整环
设有一整环R，（有加法“+”，有乘法“*”，有单位元，可交换，不含零因子），R中元素可分成两类，一类是奇的，一类是偶的，（具体例子参见上面二十段，二十一段等），奇偶规则为：偶加偶还是偶的，奇加奇也是偶的，奇的加偶的是奇的。
如果R中有个偶元u，u能整除任意一个R中的偶元(零元不用考虑)，则整环R中有3x+1问题。
可以有方程组
1. 进入某循环的
……
3*x(-2)+1=u^m(-2)*x(-1)
3*x(-1)+1=u^m(-1)*x(0)
3*x(0)+1=u^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=u^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=u^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=u^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=u^m(n)*x(1)
2. 不进入某循环的
……
3*x(-2)+1=u^m(-1)*x(-1)
3*x(-1)+1=u^m(0)*x(0)
3*x(0)+1=u^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=u^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=u^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=u^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=u^m(n-1)*x(n)
……
u=2时，就是最常见的3x+1问题，R为整数环；u=-2时，R也是整数环，十六段讲过；u=1+i时，十九段讲过，R为复整数环（高斯整环）；……，这样的环有无穷多个。
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本帖最后由 laodiao8014 于 2008-5-27 16:40 编辑 ]
