3x + 1 最高点记录

右图展示了以 2log(Mx(Pi )) 为 y 轴, 2log(Pi ) 为 x 轴的所有已知最高点记录. 这些点的分布趋势与那条斜率为 2 的白线基本一致.

下面的表格包含了至今作者发现的所有的 83 个最高点记录. 这些记录与 Tomás Oliveira e Silva 找到的完全吻合. Tomás Oliveira e Silva 已经寻找到了直到 100*250 的所有最高点记录, 在这次寻找中还有另外 5 个最高点记录被找到, 这些新记录都被收录在表格中了.

在表格的各列中, N 代表记录对应的数字, Mx(N) 代表相应记录所达到的最高点, X2(N) 就是扩张度, 还有 Mx(N) / N2. 五个已知的扩张度记录用另一种颜色标记了出来.

接下来的两列是储存 N 和 Mx(N) 分别需要的二进制位数. 显然, 储存任何正整数 x 所需的二进制位数是 [ 2log(x) ] + 1. 最后一列是首先发现或者公布这些记录的人. 由于比较小的记录是对我们来说很显然的, 所以对于小于 32 位的记录就不列出首先发现和公布的人了.

从第六列的数字中我们可以很容易知道如果要对某个数以下的所有数进行完全的 3x+1 计算需要多少个二进制位来储存中间过程. 值得注意的是, 由于一个奇变换后面总会跟随着一个偶变换, 所以用 x + [x/2] + 1 进行计算会比单纯地乘以 3 加 1 再除以 2 要少用一位.

即使不使用刚才的技巧, 我们也可以看到一些有趣的现象: 能用 8 个二进制位表示的数的计算过程中的数不会超过 16 位, 相似地, 能用 16 个二进制位表示的数的计算过程中的数不会超过 32 位, 如此类推, 似乎对于所有 8 的倍数这个结论都成立. 尽管我们有时候会碰到扩张度 X2(N) 大于 1 的数, 但是这些数的路径依然符合上面的陈述. 所以这个表格给我们带来一个经验性的结论, 就是对于所有可以用 58 个或以下的二进制位表示的数来说, 如果这个数需要 k 个字节 (1 个字节就是 8 个二进制位) 来表示的话, 那么这个数在计算中最多需要 2k 字节来储存中间结果. 或者用更精确的语言来说就是:

观察 :
对于所有正整数 N  <  258 : [256log( Mx(N) ) + 1]   ≤  2 . [256log(N) + 1].

# N Mx(N) X2(N) B(N) B(Mx(N)) 首先发现或发表者
这些记录是 Tomás Oliveira e Silva 发现的.
88 1,980976,057694,848447 64,024667,322193,133530,165877,294264,738020 16.315 61 125 Tomás Oliveira e Silva
87 1,038743,969413,717663 319391,343969,356241,864419,199325,107352 0.296 60 118 Tomás Oliveira e Silva
86 891563,131061,253151 280493,806694,884058,606277,170574,851524 0.353 60 118 Tomás Oliveira e Silva
85 628226,286374,752923 62536,321776,054750,010410,338086,629508 0.158 60 116 Tomás Oliveira e Silva
84 562380,758422,254271 13437,895949,925724,698230,081768,463808 0.042 59 114 Tomás Oliveira e Silva
直到 14 . 255 的所有记录均被作者与Tomás 验证确认.
83 484549,993128,097215 8665,503693,066416,873780,213986,553668 0.037 59 113 Tomás Oliveira e Silva
82 255875,336134,000063 4830,857225,169174,231293,987863,972468 0.074 58 112 Eric Roosendaal
81 212581,558780,141311 4353,436332,008631,522202,821543,171376 0.096 58 112 Eric Roosendaal
80 172545,331199,510631 4236,179082,564025,237818,370536,113560 0.142 58 112 Eric Roosendaal
79 93264,792503,458119 4230,725549,373731,554971,726813,360064 0.486 57 112 Tomás Oliveira e Silva
78 82450,591202,377887 1751,225500,192396,394150,998842,490900 0.258 57 111 Tomás Oliveira e Silva
77 49163,256101,584231 603,506208,138015,336516,148529,351572 0.250 56 109 Tomás Oliveira e Silva
76 10709,980568,908647 350,589187,937078,188831,873920,282244 3.056 54 109 Tomás Oliveira e Silva
75 8562,235014,026655 26,942114,016703,358404,007889,376672 0.368 53 105 Tomás Oliveira e Silva
74 5323,048232,813247 3,929460,878594,911451,658957,991888 0.139 53 102 Tomás Oliveira e Silva
73 1254,251874,774375 3,646072,622928,560527,441864,282048 2.318 51 102 Tomás Oliveira e Silva
72 737,482236,053119 75369,331597,564893,380215,011856 0.139 50 96 Tomás Oliveira e Silva
71 613,450176,662511 45762,883485,945724,291985,239552 0.122 50 96 Tomás Oliveira e Silva
70 406,738920,960667 25601,393410,042456,822885,239364 0.155 49 95 Tomás Oliveira e Silva
69 394,491988,532895 12108,564226,454891,009213,839300 0.078 49 94 Tomás Oliveira e Silva
68 291,732129,855135 7075,117872,267453,520486,656928 0.083 49 93 Tomás Oliveira e Silva
67 265,078413,377535 5714,408156,157933,111695,433652 0.081 48 93 Tomás Oliveira e Silva
66 201,321227,677935 5273,951024,177606,003893,970416 0.130 48 93 Tomás Oliveira e Silva
65 116,050121,715711 2530,584067,833784,961226,236392 0.188 47 92 Tomás Oliveira e Silva
64 64,848224,337147 1274,106920,208158,465786,267728 0.303 46 91 Tomás Oliveira e Silva
63 9,016346,070511 252,229527,183443,335194,424192 3.103 44 88 Leavens & Vermeulen
62 3,716509,988199 207,936463,344549,949044,875464 15.054 42 88 Leavens & Vermeulen
61 2,674309,547647 770419,949849,742373,052272 0.108 42 80 Leavens & Vermeulen
60 871673,828443 400558,740821,250122,033728 0.527 40 79 Leavens & Vermeulen
59 567839,862631 100540,173225,585986,235988 0.312 40 77 Leavens & Vermeulen
58 446559,217279 39533,276910,778060,381072 0.198 39 76 Leavens & Vermeulen
57 272025,660543 21948,483635,670417,963748 0.297 38 75 Leavens & Vermeulen
56 231913,730799 2190,343823,882874,513556 0.041 38 71 Leavens & Vermeulen
55 204430,613247 1415,260793,009654,991088 0.034 38 71 Leavens & Vermeulen
54 110243,094271 1372,453649,566268,380360 0.113 37 71 Leavens & Vermeulen
53 77566,362559 916,613029,076867,799856 0.152 37 70 Leavens & Vermeulen
52 70141,259775 420,967113,788389,829704 0.086 37 69 Leavens & Vermeulen
51 59436,135663 205,736389,371841,852168 0.058 36 68 Leavens & Vermeulen
50 59152,641055 151,499365,062390,201544 0.043 36 68 Leavens & Vermeulen
49 51739,336447 114,639617,141613,998440 0.043 36 67 Leavens & Vermeulen
48 45871,962271 82,341648,902022,834004 0.039 36 67 Leavens & Vermeulen
47 23035,537407 68,838156,641548,227040 0.130 35 66 Leavens & Vermeulen
46 12327,829503 20,722398,914405,051728 0.136 34 65 Leavens & Vermeulen
45 8528,817511 18,144594,937356,598024 0.249 33 64 Leavens & Vermeulen
44 1410,123943 7,125885,122794,452160 3.584 31 63
43 319,804831 1,414236,446719,942480 13.828 29 61
42 210,964383 6404,797161,121264 0.144 28 53
41 120,080895 3277,901576,118580 0.227 27 52
40 80,049391 2185,143829,170100 0.341 27 51
39 38,595583 474,637698,851092 0.319 26 49
38 19,638399 306,296925,203752 0.794 25 49
37 6,631675 60,342610,919632 1.372 23 46
36 6,416623 4,799996,945368 0.117 23 43
35 5,656191 2,412493,616608 0.075 23 42
34 4,637979 1,318802,294932 0.061 23 41
33 3,873535 858555,169576 0.057 22 40
32 3,041127 622717,901620 0.067 22 40
31 2,684647 352617,812944 0.049 22 39
30 2,643183 190459,818484 0.027 22 38
29 1,988859 156914,378224 0.040 21 38
28 1,875711 155904,349696 0.044 21 38
27 1,441407 151629,574372 0.073 21 38
26 1,212415 139646,736808 0.095 21 38
25 1,042431 90239,155648 0.083 20 37
24 704511 56991,483520 0.115 20 36
23 665215 52483,285312 0.119 20 36
22 270271 24648,077896 0.337 19 35
21 159487 17202,377752 0.676 18 35
20 138367 2798,323360 0.146 18 32
19 113383 2482,111348 0.193 17 32
18 77671 1570,824736 0.260 17 31
17 60975 593,279152 0.160 16 30
16 31911 121,012864 0.119 15 27
15 26623 106,358020 0.150 15 27
14 20895 50,143264 0.115 15 26
13 9663 27,114424 0.290 14 25
12 4591 8,153620 0.387 13 23
11 4255 6,810136 0.376 13 23
10 1819 1,276936 0.386 11 21
9 703 250504 0.507 10 18
8 639 41524 0.102 10 16
7 447 39364 0.197 9 16
6 255 13120 0.202 8 14
5 27 9232 12.664 5 14
4 15 160 0.711 4 8
3 7 52 1.061 3 6
2 3 16 1.778 2 5
1 2 2 0.500 2 2

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