3x+1 强度记录

一个正整数 N 的强度 S 被定义为 S(N) = 5.O - 3.E , 这里 O 和 E 分别代表奇变换 (3x+1) 和偶变换 (x/2) 的次数.

注意到当用 (3x+1)/2 来代替 3x+1 作为奇变换时, 我们仍能很好地定义强度. 此时再令 O' 和 E' 分别代表奇变换和偶变换的次数, 这时我们有 S(N) = 2.O' - 3.E'. 这就使强度独立于变换的具体算法了.

显然, 一个强度记录应该也是一个步数分类记录. 但是相对于步数分类记录的增长来说, 强度记录相对来说没有什么变化. 现在只知道几个强度记录. 现在的数据暗示着这些记录的大小大约成指数形式增长, 后一个记录大概是前一个记录的 100 倍左右.

第一个强度记录是 1 或者 2 , 这依赖于 3x+1 函数的定义. N=1 的归一步数是 0, 所以它的强度是 0. 如果有人不喜欢 1 作为记录的话, 第一个记录也可以是 2, 这时 S(2) = -3. 因为这两个数都是相当地显然, 所以下面表格中的记录就把第一个记录写成 0, 标号也为 0 了. 在 N < 60,000,000 时, 没有一个数的强度超过第一个记录的, 这相当的令人惊奇.

下面表格指出, 第一个非显然的记录就已经有 8 位之多了, 这就显示出强度记录的稀有. 除此之外, 我们就还只知道另外的 3 个记录. 再下一个数就是第五个记录的已知最好候选者了. 它最终可能会被分布式搜索确认为一个记录. 接下来的两个数是现在接下来的两个记录的已知最好的候选者了. 所有这些就是对于 N < 280 来说的所有候选者了.

小于 280 (潜在的) 强度记录
# 强度 归一步数 N
7? 56 2968 7219,136416,377236,271195
6? 55 2955 6852,539645,233079,741799
5? 38 2254 104899,295810,901231
4 28 1820 100,759293,214567
3 17 1549 3,743559,068799
2 10 1210 13371,194527
1 9 949 63,728127
0 0 0 1

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