平常心
发表于 2013-4-2 21:09:01
本帖最后由 平常心 于 2013-4-2 21:43 编辑
今天特别高兴,因为我看到有些网友已经在准备帮助我了。再次表示衷心地感谢!
数学的创造从发现问题开始,而发现问题是离不开一定的观察与思考的。 创造发端于问题,问题又往往发端于观察。观察不只在创造之始需要,在建立了试探性理论之后还需要继续观察。甚至在各种思维过程中也要穿插着观察。 引自张楚廷《数学与创造》(大连理工大学出版社2008年7月)
在探索Collatz3N+1问题时采用二进制数最大的好处是有利于观察。下面例举二个Collatz树的示意图,一个是我从维基百科是下载的,这自然是一个十进制数的图;另一个是我用二进制数表示的示意图。
xx318088
发表于 2013-4-2 21:15:19
@zzfwind2007
这是什么,好认真的样子……
平常心
发表于 2013-4-2 21:28:08
楼上的图一、二请网友比较。我试图寻找比较完善、清晰、有一点规律的Collatz树图,但没有找到(当然也可能是我的理解能力不够造成的,再者我的能力及接触的范围有限)。
通常,序列是被排成一列的对象(或事件),每个元素不是在其他元素之前,就是在其他元素之后。Collatz序列的形成过程反复经历了两种不同的基本计算(乘3加1与除2),这两种计算决定了Collatz序列规律必然是两种基本规律的复合,各个元素的排列可能不局限在一条直线上。我认为,Collatz序列各元素依次分布在一个简单的三维空间(见图二),用解决线性序列的方法研究证明三维空间序列问题,自然会遇到难以逾越的障碍,这是该问题长期陷入困境的原因之一。
只要认真观察就可以发现,图二已经反映出Collatz树的某些基本规律,但还不够明确。
平常心
发表于 2013-4-2 21:29:59
xx318088 发表于 2013-4-2 21:15 static/image/common/back.gif
@zzfwind2007
这是什么,好认真的样子……
这是一个小学生的作业。面对这么多高水平的老师,小学生没有理由不认真。
平常心
发表于 2013-4-3 09:30:59
人们在长期的研究中,已经发现了或者触及到Collatz3N+1问题的许多规律,也在不断突破线性序列的束缚。
2002年,陕西师范专科学校数学研究所王念良先生提出,Collatz树是连通无回路的树状结构。从树的角度去研究这个问题,比单纯从线性序列的角度是一个进步。可惜该文对Collatz树的具体结构及各深度上顶点的数值关系并没有深入具体的探讨。
周云才、周宝兰先生发表在长江大学学报(理工卷)2007年4卷1期上的文章:《Collatz猜想探讨》使用了一个有趣的比喻:“一个Collatz波就像是一个毛毛虫,每一次的变换就是此毛毛虫的一次蠕动。先是弓背(能量的聚积),然后伸展(能量衍射),同时在其尾端(波的开始端)排泄能量,而在其头端(波的末端)吸收能量。每一条毛毛虫都经历了一个出生一成长一萎缩一死亡的过程。”这与二进制数的迭代序列中,数字长、短的反复变化,最后归结到1的情况非常相似。
2008年,内蒙古科技大学郝生旺先生在“中国科技论文网”上发表了《3n+1问题的直接证明》。文章认为,“3n+1问题是一类迭代数列整体性质的证明问题。”并“利用共尾数列及良序原理”,给出了一个证明。“共尾数列”实质上是树状结构反映。郝先生虽然对迭代数列的一些具体规律作了较深入的研究,某些地方已经揭示出该猜想的基本特点,但仍然有一些局限,对所有数列的集合——“树”的“整体”研究不足。
2011年,(德)Gerhard Opferd的《An analytic approach to theCollatz 3n+1 problem》(预印本)介绍,“Berg and Meinardus, 1994,1995,introduced a pair of linear functional equations” ,“The simultancous solutions of the two functional equations contain a simple two dimensional space,denoted by △2,and if one could show that △2 is the only solution,the Collatz conjecture would be true.(2个函数方程的联立解构成一个简单的二维空间△2,如果有人能证明△2是唯一的解,那么 Collatz 猜想就是成立的。)”Gerhard Opferd在此基础上继续深入研究,他一度认为已经证明了该猜想。当时,一条Collatz曾经的学生证明了该猜想的消息不胫而走。仅过了一个月,Gerhard Opferd就断然宣布自己的证明有一个漏洞,证明仍需继续。
将Collatz序列放进一个二维空间进行分析研究,无疑是一大进步。在利用现代数学手段的同时,人们似乎比较容易忽视,我们熟悉的十进制数无形中妨碍了我们对Collatz序列基本规律的观察、分析。
王念良,2002,《Collatz问题的证明》,商洛师范专科学校学报第16卷第2期.
平常心
发表于 2013-4-3 19:51:36
本帖最后由 平常心 于 2013-4-13 23:02 编辑
《Collatz树的基本规律》主要观点
若对于所有奇数猜想成立,则对于所有的自然数猜想亦成立。
将奇数划分为两类:≡101(mod1000)或≢101(mod1000)。定理1:若m≡101(mod1000)必有 m = m0×10^2(k+1)+ (10^2(k+1)-1)/11且(and)D(m)=D(m0)(m∈M k∈N m0≢101(mod1000))
定义3:若 m1≢101(mod1000)>11,必有m1= n×10j+1 +10j -1当n=0(mod2)且j=0(mod2)或 n=1(mod2)且j=1(mod2)时令m2=(m1-1)/10= n×10^j+10^(j-1) -1当(If)n=0(mod2)且j=1(mod2) 或 n=1(mod2)且j=0(mod2)时令(Put)m2= m1×10+1= n×10^(j+2) +10^(j+1) -1我们称m1、m2为孪生数对(m1、m2∈M n∈N j>=1 )。
定理2:若 m1、m2为孪生数对,则D(m1)=D(m2)。若所有孪生数对中较小的奇数符合猜想,则所有自然数符合该猜想。
Collatz序列的二进制数变化可以看作,尾部字符减少、前端字符增加的综合结果。定义4:Collatz树上任何一顶点m的所有双亲中,一对最小双亲——mx1、mx2,称作该项的最小双亲对。当m≡ 0(mod11)时, mx1 = m/11×10^3+1 mx2 = m/11×10^4+1当m≡ 1(mod11) mx1 = (m-1)/11×10^2+1 mx2= (m-1)/11×10^5+10001当m≡ 10(mod11) mx1 =(m-10)/11×10+1 mx2 =(m-10)/11×10^6+110001
m与其最小双亲对相比,尾部位数减少的平均值恒等于3.5:A = (B(mx1)+B(mx2))/2-B(INT(m/3)) =3.5 (m∈M)(B(m)=ln(m)/ln(2)+1,该函数之值为m的二进制数位。)(INT(A)为向下取整函数)
当深度差为n时,二进制数前部字符增加的个数由下式确定:B = INT(ln(m0×3n)/ln(2))-INT(ln(m0)/ln(2))当n足够大时,上式可简化为:B ≈ INT(n×ln(3)/ln(2))。
平常心
发表于 2013-4-4 08:39:31
本帖最后由 平常心 于 2013-12-29 15:30 编辑
上面介绍了我的主要观点,下面将逐一介绍。再次声明,我是一个也遇到低水平的数学爱好者,在各位面前是一名诚恳听取批评意见的小学生,望各位不吝赐教。实现介绍一个附带的问题,我采用二进制数计算(上下标在、序号等仍用十进制数),其基本方法如下文(只是一个简单而笨拙的方法,因为我采用手工计算):
二进制数的有关计算问题㈠判断二进制数是否可被11(3)整除的方法由于,2^2k≡1(mod3)故: (2^2(k+i)+2^2k+1)×2j≡0(mod3)(k∈N, i、j∈N)例如(2^4+2^2+1))×4=84;(2^8+2^4+ 1)×8=2184;( 2^10+2^2+ 1)×2=2058……当i=0时,(2^2(k+i)+2^2k+1)×2j=(2^(2k+1) +1)×2j≡1(mod3)例如: (2^3+1)×32=288;(2^5+ 1) ×4=132;(2^7+1) ×2=258……将以上二式化作二进制数就是:(10^(2k+1)+1)×10j≡0(mod11)(10^2(k+i)+10^2k+1)×10j≡0(mod11)故,凡全部由以下三类字符段嵌套组合而成的数字,定为11(3)的倍数:①11、1111、111111……(3、15、63……)②1001、100001、10000001……(17、33、129……)③10101,1010001,101000001……100010001……(21、81、321……273)反之必定不是11的倍数。 例如:1111001011100101可以分解为:1111、1001、10000001、1001等,因而它是11的倍数。在此基础上,可进一步推演出更实用的复杂组合:令:A=00……0(由奇数个0组合的字符串) B=1……1(中间为任意多个字符组合,但不包含A字符串)任何二进制数均可由0、1与A、B字符串组合而成,其中:0≡0(mod11) 11≡0(mod11) 1A01≡0(mod11) 1ABA1≡0(mod11)1≡1(mod11) 1A0≡1(mod11) 1ABA≡1(mod11)1A≡10(mod11) 1A1≡10(mod11) 1AB≡10(mod11) 1 ABA0≡10(mod11) 由左至右逐个划去≡0(mod11)的字符串,最后剩余的字符串即可确定被11(3)整除后的余数。例如:10111111001110000111111000011111≡10(mod11) 100111100011001001111000000001111111101≡0(mod11) 1000011000110011111000000111111011000≡1(mod11) ㈡Collatz问题中的二进制数计算一个二进制数乘11(3),相等于这个二进制数的错位加法。101×11=1111 101×11+1=1000010101×11=111111 10101×11+1=10000001010101×11=11111111 1010101×11+1=100000000……11×11=1001 11×11+1=1010111×11=10101 111×11+1=101101111×11=101101 1111×11+1=1011110……以上是基本计算格式。利用这些计算格式能够较快地对二进制数从左至右进行乘11(3)加1计算。
平常心
发表于 2013-4-4 10:45:31
本帖最后由 平常心 于 2013-4-14 19:59 编辑
这一部分算是开场白吧,基本上是照搬别人的,没有什么新的东西。我认为重要的是对为什么要将研究范围缩小到奇数,这不单单是一个范围问题。其实质是将一个三维空间的序列简化为二维平面序列的第一步。许多专家学者之所以坚持不缩小研究范围,可能与对这个问题的认识有关。许多时候认识比证明本身重要得多。
Collatz树的基本规律 业余数学爱好者郑敏
对于所有正整数n我们定义一个序列Ci(n),其中:
C0(n) = n
并且对于所有i>0有:
若 n=0(mod2) Ci(n) = 3Ci-1(n)+1
若 n=1(mod2) Ci(n) = Ci-1(n)/2 (1.1)
若经过有限的迭代次数k,必有Ck(m) =1。这就是Collatz问题(猜想)。
本文采用二进制数运算(序号、幂指数、上下标仍采用十进制数)。若对于所有奇数猜想成立,则对于所有的自然数猜想亦成立,故上式可简化为:
Ci(m) = (11Ci-1(m) +1)/ 10e(m) (m∈M) (1.2)
(式中e(m)表示使偶数11m+1能被10e(m)整除的最大自然数)
定义1:对于所有的奇数m令k为满足 Ck(m) =1 的最小上标,我们称k为m的归一步数(Delay), 并记作
D(m)。若Ci(m1)= Ci(m2)(m1≠m2m1、m2∈Mi∈N),则D(m1)=D(m2),并且称m1、m2为兄弟项。
定义2:在Collatz序列(中,Ci(m)的前一项 Ci-1(m)为该项的双亲;其下一项 Ci+1(m)为该项的孩子。
见邬家邦,2001. 3N+1猜想. 长沙:湖南大学出版社.100. 归一步数(Dela)借用了荷兰学者Eric Roosendaal《On the 3x + 1 problem》网站上的概念。由于研究范围不同(Eric Roosendaal是根据(1.1)式推算D(m)的数值,而我根据(1.3)式推算),得出的具体数据有较大区别,但基本规律是一致的。不影响对问题的研究探讨。
平常心
发表于 2013-4-4 13:30:17
本帖最后由 平常心 于 2013-4-4 13:32 编辑
对于Collatz3N+1猜想的证明来说,下面介绍的是非常简单而又最重要的定理。
定理1,虽然是我独立发现的,但我很快就了解到,早就有人发现了它。只可惜人们看到了这个规律,却没有真正认识它的重要性,否则,该猜想在若干年之前早被证明了。采用二进制数之后,这个定理从直观的角度就可以证明,但数学是严谨的,我还是要写一点证明。利用这个定理,我们可以将Collatz序列化为一个有规律的二维空间序列。
基本定理(1)定理1:若m≡101(mod1000)必有 m = m0×102(k+1)+ (102(k+1)-1)/11 且(and)D(m)=D(m0)(m∈M k∈N m0≢101(mod1000))证明 :m≡101(mod1000)设m = mk×102+1若mk≡101(mod1000)m =( mk-1×102+1)×102+1= mj-1×104+102+1……直至 m0≢101(mod1000)m =m0×102(k+1)+102k+102(k-1)+……+102 +1= m0×102(k+1)+(102(k+1)-1)/11C1(m)=(11×m+1)/ e(m)=( (11×m0+1)×102(k+1))/ e(m) =( (11×m0+1)×102(k+1))/(e(m0) ×102(k+1)) =(11×m0+1) / e(m0)= C1(m0) 故D(m)=D(m0) 例如C1 (111)=(11×111+1)/ e(111)=10110/10=1011 C1(111010101)=(11×111010101+1)/ e(111010101) =10110000000/(107)=1011故有C1(111010101) = C1(111)=1011(C1(469) = C1(7)=11)
平常心
发表于 2013-4-4 13:36:39
本帖最后由 平常心 于 2013-4-14 20:13 编辑
基本定理(2)
定义3:若 m1≢101(mod1000)>11,必有m1= n×10j+1 +10j -1
当n=0(mod2)且j=0(mod2)或 n=1(mod2)且j=1(mod2)时
令m2=(m1-1)/10= n×10j +10j-1 -1
当n=0(mod2)且j=1(mod2)或 n=1(mod2)且j=0(mod2)时
令m2= m1×10+1= n×10j+2 +10j+1 -1我们称m1、m2为孪生数对(m1、m2∈M n∈N j>=1 )。
定理2:若 m1、m2为孪生数对,则D(m1)=D(m2)。
证明:C1(m1) = (m1×11+1) / 10e(m1)(n×11+1) ×10j +10j-11
c2(m1) = (n×112+11+1) ×10j-1 +10j-2 -1
……
当n=0(mod2)且j=0(mod2)(or) n=1(mod2)且j=1(mod2)时Cj-2(m1) = (n×11j-2+(11j-3+11j-4+……+11+1)) ×103 +102 -1
Cj-1(m1) = (n×11j-1+(11j-2+11j-3+……+11+1)) ×102 +10 -1 = (n×11j-1+(11j-1-1)/10) 102 +1
Cj-1(m2) =n×11j-1+(11j-1-1)/10
当n=0(mod2)且j=1(mod2) 或 n=1(mod2)且j=0(mod2)时Cj-1(m1) = (n×11j-1+(11j-2+11j-3+……+11+1)) ×102 +10 -1
Cj(m1) = (n×11j+(11j-1+11j-2+……+11+1)) = n×11j+(11j-1)/10
Cj-1(m2) =(n×11j+(11j-1)/10) 102 +1根据定理1可得D(m2)=D(m1)
平常心
发表于 2013-4-4 16:09:35
本帖最后由 平常心 于 2013-5-20 15:53 编辑
刚才看了一段第15届青歌大赛节目。一位评委说,过错是暂时的,但错过是终生的遗憾。
我原本是想通过中国分布式计算与(荷)Eric Roosendaal联系,一是表示感谢,而是请教有关问题。没有想到这里就有一个很好的论坛,而且有高人表示要帮助我。过错是暂时的,但错过是终生的遗憾,我必须努力,不要错过这个学习的机会。
平常心
发表于 2013-4-4 21:20:50
本帖最后由 平常心 于 2013-4-4 21:53 编辑
我在这里采用了一个特殊的符号——[ …… ]。主观上是想用一个比较简洁的符号表达一个固定的数学演变过程,但由于个人数学修养差,找不到合适的符号。如果有更好、更合适的表达方法,希望各位专家、网友帮助。
Collatz树
根据以上定理可将奇数划分为两类:≡101(mod1000)或≢101(mod1000)。
若所有孪生数对中较小的奇数符合猜想,则所有自然数符合该猜想。1与11符合猜想,主要结构特征与孪生数对类似,亦视为孪生数对。 据此对(1.2)式修改如下: (m)= [(11 + 1)/10e(m)] (m∈M) (1.3) 中 [……]的含义是: A = m0×102(k+1)+(102(k+1)-1)/11 (A、m0∈M k∈N) = m0 若 m= n×10j+1+10j -1(m∈M n≧0j≧1 ) 当 n=0(mod2)且j=0(mod2)或 n=1(mod2)且j=1(mod2)时 【m]= (m-1)/10 否则 = A 将上式生成的Collatz序列汇聚在一起,形成Collatz树。其中每个顶点有无限多个双亲,根据双亲的结构,可分为两列。
定义4:Collatz树上任何一顶点m的所有双亲中,一对最小双亲——mx1、mx2,称作该项的最小双亲对。
Collatz树的根——1,没有孩子,它的最小双亲对是10001和1110001,它们将Collatz树分为上下半区。根据(1.3)式推导出确定最小双亲对的公式:
当m≡ 0(mod11)时, mx1 = m/11×103+1 mx2 = m/11×104+1 (1.4-1) 当m≡ 1(mod11) mx1 = (m-1)/11×102+1 mx2 = (m-1)/11×105+10001 (1.4-2) 当m≡ 10(mod11) mx1 =(m-10)/11×10+1 mx2 =(m-10)/11×106+110001 (1.4-3)
在最小双亲对基础上将其余双亲按大小分级如下:
一级双亲 = mx1×106+110001 或 mx2×106+110001
二级双亲 = (mx1×106+110001)×106+110001 或 (mx2×106+110001)×106+110001
三级双亲 = ((mx1×106+110001)×106+110001)×106+110001 或((mx2×106+110001)×106+110001)×1106+110001
…………
i级双亲 = mx1×106i+110001×(106i-1)/(106-1) 或 mx2×106i+110001×(106i-1)/(106-1)
根据双亲对的级别,我们就又可以将Collatz树划分级别如下:
基干图(Main force digraph):全部由最小双亲对组成的Collatz树(图一)。
一级扩大图:全部由基本顶点和一级双亲组成的Collatz树(图二)。
二级扩大图:全部由基本顶点和一、二级双亲组成的Collatz树。
……
i级扩大图:全部由基本顶点和一至i级双亲组成的Collatz树。
显然,基干图是一个深度无限大、没有叶子的满二叉树。各级别扩大图中,每个顶点的双亲也是固定有限的,可以看做若干满二叉树的组合。
平常心
发表于 2013-4-4 22:10:39
楼上的图一
平常心
发表于 2013-4-4 22:12:14
57#图二
平常心
发表于 2013-4-4 22:22:28
本帖最后由 平常心 于 2013-4-15 14:46 编辑
Collatz树的基本规律Collatz序列各项数字的大小变化变幻莫测,令人困惑。采用二进制数后发现,这种变化是尾部字符不断减少、前端字符不断增加而综合形成的,前后变化各有固定的规律(图三)。 观察(1.4-1)、 (1.4-2)、 (1.4-3)式可以发现mx1、mx2的前端字符相同,但后部字符个数和恒为7,也就是说,将m与其最小双亲对相比,尾部位数减少的平均值恒等于3.5(以下计算采用十进制数):A = (B(mx1)+B(mx2))/2-B(INT(m/3)) =3.5 (m∈M)(B(m)=ln(m)/ln(2)+1,该函数之值为m的二进制数位。)(INT(A)为向下取整函数)根据上式,可以推算出,在同一级别的Collatz图中,各深度下所有顶点二进制数尾部字符数逐级减少的平均值A为:基 干 图 3.5一级扩大图 3.5+12/4=6.5二级扩大图 3.5+12×(1+2)/6=9.5三级扩大图 3.5+12×(1+2+3)/8=12.5…… i级扩大图 3.5+12×(1+2+3……+i)/2×(i+1) = 3.5+3i设M0为某深度下一顶点的值,经过n次迭代计算后得mn,二进制数前部字符增加的个数由下式确定:B = INT(ln(M0×3n)/ln(2))-INT(ln(M0)/ln(2))当n足够大时,上式可简化为:B ≈ INT(n×ln(3)/ln(2))。显然,当当深度差很小时,B值与顶点m的数值关系较明显,为1或2;随着深度差n的加大,其影响越来越小;当n足够大时,可或略不计。综合以上变化规律推导出以下结论:在同一级别的Collatz图中,若两层深度差为n,则所有顶点二进制数平均数位之差Bn由下式确定(注意:上下半区应分别统计):Bn = INT((A-INT(ln(M0×3n)/ln(2))+INT(ln(M0)/ln(2)) )×n)或:Bn =INT((A-㏑(3)/㏑(2))×n)(n∈N) (1.5)由于A>㏑(3)/㏑(2),因而可以确定在Collatz树上,不同深度(归一步数)下的所有顶点的二进制数位数的平均值随着深度的减小而递减。这就决定了,最小的奇数1是Collatz树的根,也就是说Collatz猜想是成立的。