本帖最后由 平常心 于 2014-1-18 20:40 编辑
Lagarias的综述中谈到的以下内容是大家公认的： We call the sequence of iterates （n,T(n),T2(n),T3(n),……）the trajectory of n. There are three possiblebehaviors for such trajectories when n > 0. (注：式中2、3、为上标) (i). Convergent trajectory. Some T(k)(n)=1. (注：式中k为上标) (ii). Non-trivial cyclic trajectory.The sequence T(k)(n) eventually becomes periodic and T(k)(n)≠1 for any k≧1. (iii). Divergent trajectory.limk→∞T(k)(n)=∞.(注：式中k为上标，k→∞为下标) 某个自然数n的迭代序列的轨迹是收敛的，或是发散的，或是出现循环。不会有第四种。但令人沮丧的是人们得不出最后的结论。 不少研究者已注意到“Coolatz有向图”、“整体有向图”等问题，但他们始终未能摆脱“十进制数”对问题实质的掩盖，还有一些研究者不肯正视在这个迭代序列中偶数段与奇数段的不同规律……正因如此，一些人疑神疑鬼，总怀疑该问题无法得到解决。有人提出了“不完备性定理”，进而就有研究者发现“有些很像3x+1问题的命题是不可证明的”。 这些观点确实让我学习了解到不少东西，给了我鼓舞和启发。我感到，有的研究者已经接近或走的最终解决的门口。然而由于习惯思维的约束，它们与真理擦肩而过，失之交臂。例如，有较大影响的Crandall定理（1978年）如果采用二进制数，他的结论可能要精确得多，或许上世纪70年代 该问题就得到解决。 Crandall定理让人们认识到，“如果对于所有小于某个特定数N的数均收敛的话”，我们就、可以“推断出一个循环圈长度的下限”。于是，这个下限数值随着人们大量的计算结果不断被刷新。 不可否认，这是一个重要的研究成果。但这也是一个值得进一步思考推敲的结果。 第一， 这里的循环受到“4-2-1”这个长度为3的循环圈的较大影响。我不赞成混淆两个根本不同的循环； 第二， 如果采用二进制数，就能够明确地认识到，反映循环基本特性的“循环”应当是一些间断的不连续的数字。 前些天，我在第二份小学生作业中公布了二个无穷大数字的部分计算数据(请参看《一个小学生的作业之二——循环圈》12#、16#、17#)，它显示了一个长度为665（1719）步完整循环（注意：不是循环圈。但若要形成循环圈，必须以这个循环为基础）。 该循环的首项是：10101010101010101010…… 末项是：10101010101011001001…… 如果存在循环长度为664或666的循环，相应的末项将分别是： 11100011100100001100001…… 10000000000000010110111…… 显然，绝不存在长度为664、666这样的循环圈。 我们知道，在一个二进制数的3x+1迭代序列这，数字的前部字符不断增加，而尾部字符不断减少。若奇数m是某个长度为k的循环圈内的一项，那就说明m经过k次迭代计算后前部增加的字符数恰恰等于尾部减少的字符数。且k一定是一系列特定数字之一（2、5、7、12、41、53、306……） 无论循环圈的长度达到多大，也不可能违背这个基本的计算结果。 从这个角度看问题，Crandall定理也可能有一些值得修订的地方。进一步看，这可能是彻底解决困扰人们的“循环”问题基础。这也是我的第二份小学生作业想要讨论的问题。不知各位老师是否有兴趣参加？ 当然，一些老师可能会认为，我以上的话不过是狂妄至极的胡话。没关系，我欢迎任何形式的批评。当然更欢迎有理有据的批评。 | 
