请教一个谢尔宾斯基数和Riesel数的问题

海里游

有一个问题一直搞不明白，
“谢尔宾斯基数是奇正整数k使得所有形式如k × 2^n + 1的数均为合数。”
“Riesel数是奇正整数k使得所有形式如k × 2^n - 1的数均为合成数。”
为什么都是奇正整数k，偶数为什么符合上述条件要排除掉。

像k=314228也有谢尔宾斯基数的特点，能使k × 2^n + 1的数均为合数，那么314228叫什么数？
像k=1984154也有Riesel数的特点，能使k × 2^n -1的数均为合数，那么1984154叫什么数？

fwjmath

易证形如k=(2t+1)2^p的数使得所有形如k*2^n+1均为合数当且仅当(2t+1)是一个Sierpinski数，Riesel数同理。所以从简洁性角度来看，没有必要考虑偶数。

海里游

谢谢高人fwjmath的解答。

易证形如k=(2t+1)2^p的数使得所有形如k*2^n+1均为合数当且仅当(2t+1)是一个Sierpinski数，

形如k=(2t+1)2^p是什么形？是k=(2t+1)*2^p形？
那应该解释为：容易证明k*2^n+1=((2t+1)*2^p)*2^n+1均为合数？
k=(2t)*2^p不容易证？

从简洁性角度来看，没有必要考虑偶数

既然是从易与不易证的问题上看，为什么还要从简洁性考虑？
我问这些可能让高人见笑，请原谅我的无知。
因为我有个程序专门计算谢尔宾斯基数和Riesel数有近一半是偶数，
我在想k是偶数时，与k是奇数一样，k*2^n+1既有合数，也有素数，好不容易得出来的偶数，不用感觉浪费了。
另外参加运行谢尔宾斯基数项目就是为了找小于k=78557的谢尔宾斯基数？
大家都知道78557*2^n+1中所有数总能被3，5，7，13，19，37，73之一整除，也就是以这些数为因子，总能覆盖78557*2^n+1中所有的数。
想问一下，若不存在这样的固定因子的数k，叫不叫谢尔宾斯基数。这些固定的因子之所以能够覆盖所有的数，是因为这些因子都有它固定的循环节。
像3的循环节是2，5是4，7是3，13是12，19是18，37是36，73是9，就构成了一级一级的覆盖链，我把这样的覆盖链叫做无限循环覆盖链，
78557*2^n+1构成的是
一级3，二级5，三级7、13，四级19、37、73无限循环覆盖链
例：
78557*2^0+1= 2 × 3 × 13093
78557*2^1+1= 5 × 7 × 672
78557*2^2+1= 3 × 104743
78557*2^3+1= 73× 8609
78557*2^4+1= 32 × 7 × 71 × 281
78557*2^5+1= 52 × 193 × 521
78557*2^6+1= 3 × 11 × 131 × 1163
78557*2^7+1= 7 × 1436471
78557*2^8+1= 3 × 541 × 12391
78557*2^9+1= 5 × 59 × 136343     (指数加2*n淘汰3)
78557*2^(9+2*1)+1= 13 × 523 × 23663
78557*2^(9+2*2)+1= 5 × 7 × 1759 × 10453
78557*2^(9+2*3)+1= 19 × 135481883      
78557*2^(9+2*4)+1= 5 × 2059324621
78557*2^(9+2*5)+1= 7 × 1583 × 3716857
78557*2^(9+2*6)+1= 5 × 73 × 451358821   
78557*2^(9+2*7)+1= 13 × 811 × 62504399
78557*2^(9+2*7+4*1)+1= 37 × 167 × 40427 × 42209 (指数加4*n淘汰5)
78557*2^(9+2*7+4*2)+1= 72 × 109 × 31585821557
78557*2^(9+2*7+4*3)+1= 13 × 47 × 47119 × 93755653
78557*2^(9+2*7+4*4)+1= 71 × 73 × 211 × 39490356709
78557*2^(9+2*7+4*5)+1= 7 × 48844391 × 2020979761
78557*2^(9+2*7+4*6)+1= 132 × 20441 × 87583 × 36541471
78557*2^(9+2*7+4*7)+1= 19 × 2083 × 4469632310778281
78557*2^(9+2*7+4*8)+1= 7 × 704003 × 574330792709437
78557*2^(9+2*7+4*9)+1= 13 × 193577 × 17995235177216317
78557*2^(9+2*7+4*10)+1= 37 × 33109276591 × 591457033571
78557*2^(9+2*7+4*10+12*1)+1= 73 × 197 × 6952247899 × 29683850038783(指数加12*n淘汰7、13)
78557*2^(9+2*7+4*10+12*2)+1= 19 × 4976953 × 128551566202598492035571
78557*2^(9+2*7+4*10+12*3)+1= 37 × 313 × 19900057 × 25409453 × 8502737327199217
78557*2^(9+2*7+4*10+12*4)+1= 73 × 261242193341 × 10694198158637548117084909
78557*2^(9+2*7+4*10+12*5)+1= 19 × 1410911 × 588945466621 × 52911010162064528343913
78557*2^(9+2*7+4*10+12*6)+1= 37 × 3313 × 202061902302107047 × 138142307873488082602811
78557*2^(9+2*7+4*10+12*7)+1=73×503×6323×60364307881790352549051216921865015878581
78557*2^(9+2*7+4*10+12*8)+1=19×18439×176901929×18159943216792308539× 51005402649853470527
78557*2^(9+2*7+4*10+12*9)+1=37×3167×4633983914491522568370749× 433021877863156699016712047
78557*2^(9+2*7+4*10+12*10)+159×73×307×22890731437537× 31820073543663585879597969854986136153689
78557*2^(9+2*7+4*10+12*11)+1=19×4217×1156229× 42582679369459438268119030388333667783898609711142231
78557*2^(9+2*7+4*10+12*12)+1=37×49282257692141×4957867200014335078133× 1787338388675679542166413154077
78557*2^(9+2*7+4*10+12*13)+1=47×73×829× 23269052083784009811706424678266520226390944157083166102593032483
一级淘汰3，二级淘汰5，三级淘汰7、13后，剩下的19、37、73就覆盖了所有的数了。
用这种方法很容易得出项目中的17个要判断的数它们的链都是不完整的。
我现在不明白的是。找最小谢尔宾斯基数的项目，是明知道它没有固定因子而去找素数？
如果没有完整的覆盖链，要等到找到素数才为止，若这个素数非常大，那就很难确定，就算能确定，它也是一个没有覆盖链的谢尔宾斯基数。
其实能构成某一个链的因子的组成都是固定的。
像用3、5、7、13、17、241构成的循环覆盖链，奇、偶合计共有48个数。
用3、5、7、13、19、37、73构成的循环覆盖链，奇、偶合计共有144个数。
若用109替换19、37、73中的任何一个数又能构成144个数
等等。
像斯塔克构造了一个数k=2935363331541925531
就是用3、5、17、257、641、65537、6700417构成的循环覆盖链
一般链的因子越少，越小得到的谢尔宾斯基数整体越小，像k=78557这样小的
谢尔宾斯基数是一种极特殊现象，如果一个谢尔宾斯基数有几个阶层组成的话，
那么，k=78557相当于有两个大的阶层为零。
不过这也不是一两句说得明白的，献丑了。
说的不对请大家指正。

fwjmath

嗯，关于“易证”的部分，想了一下其实不是完全等价，不过你看看你找到的那些偶的Sierpinski数，是不是都是某个更小的Sierpinski数的偶数倍？另外，最小的奇的Sierpinski数找到之后，很容易就能根据计算结果推出最小的你说的一般的Sierpinski数。

关于那些找最小Sierpinski数的项目，我们知道如果有covering set的话，那么这个数是Sierpinski数，但反过来并不成立。用你的话来说，即使不存在一个固定因子的集合，只要k符合定义，都算是Sierpinski数。而这些项目做的事情更像是尝试一个一个去否决还没确定的Sierpinski数的候选者，而否决的判据就是一个素数。

更详细的话，可以参见有关的英文Wikipedia页面。

海里游

fwjmath的解答，清楚明白，让我清晰了很多，高人就是高人。
我找到的类似Sierpinski数的最小偶数，确实是最小Sierpinski数的偶数倍。
fwjmath懂得的真多呀！
让我茅塞顿开。
谢谢！！

海里游

另外，我还想贪婪的问一句：

最小的奇的Sierpinski数找到之后，很容易就能根据计算结果推出最小的你说的一般的Sierpinski数。

这又是怎么实现的呢？

fwjmath

回复 6# 海里游

用排除法，很多k都发现了他们对应的数个Proth素数，或者形如k*2^n-1的素数，稍微用一点排除法就可以了。

海里游

噢！我再琢磨琢磨吧。