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碧城仙

以下转贴的文章中的数字显示均有问题，请注意区分梅森素数的表示形式
2——P－1【2后数字上标】，2后面的一打数字均为2的指数。

[此贴子已经被作者于2004-7-23 20:58:02编辑过]

碧城仙

十万美元的悬赏
——互联网梅森素数大搜索


一、价值五万美元的素数

　　2000年4月6日，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特瓦拉(Nayan Hajratwala)先生得到了一笔五万美元的数学奖金，因为他找到了迄今为止已知的最大素数，这是一个梅森素数：

　　　　　　　(2^6972593)-1。

这也是我们知道的第一个位数超过一百万位的素数。精确地讲，如果把这个素数写成我们熟悉的十进制形式的话，它共有两百零九万八千九百六十位数字，如果把它以这个形式写下来，大约需要150到200篇本文的篇幅。

　　可是哈吉拉特瓦拉先生并不是一个数学家，他甚至很可能对寻找素数的数学理论一无所知——虽然这使他赢得了这笔奖金。他所做的一切，就是从互联网上下载了一个程序。这个程序在他不使用他的奔腾II350型计算机时悄悄地运行。在经过111天的计算后，上面所说的这个素数被发现了。

二、梅森素数

　　我们把一个大于1的自然数叫作素数，如果只有1和它本身可以整除它。如果一个比1大的自然数不是素数，我们就叫它合数。1既不是素数，也不是合数。

　　比如说，你很容易就可以验证7是一个素数；而15是一个合数，因为除了1和15外，3和5都可以整除15。根据定义，2是一个素数，它是唯一的偶素数。早在公元前三百年的古希腊时代，伟大的数学家欧几里德就证明了存在着无穷多个素数。

　　关于素数，有许多既简单又美丽，但是极为困难的，到现在还没有答案的问题。其中有著名的哥德巴赫猜想，它是说任何一个大于6的偶数，都能表示为两个奇素数之和。还有孪生素数问题。象5和7，41和43这样相差2的素数对，被称为孪生素数。孪生素数问题是说：是不是有无穷多对孪生素数？这里要顺便提一下的是，这些看起来很简单的数学问题，它们的解决方法将一定是极其复杂的，需要最先进的数学工具。如果你不是狂妄到认为几百甚至几千年来所有在这些问题上耗费了无数聪明才智的数学家（有许多是非常伟大的）和数学爱好者加起来都不如你聪明，就不要试图用初等方法去解决这些问题，徒费时间和精力。

　　古希腊人还对另一种数感兴趣。他们将它称为完美数。一个大于1的自然数叫完美数，如果它的所有因子（包括1，但不包括本身）之和等于它本身。比如说6=1+2+3就是最小的完美数，古希腊人把它看作维纳斯也就是爱情的象征。28=1+2+4+7+14是另一个完美数。欧几里德证明了：一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：

　　　　　(2^p)-1

其中 (2^p)-1 是素数。上面的6和28对应着p=2和3的情况。我们只要找到了一个形如 (2^p)-1 的素数，也就知道了一个偶完美数；我们只要找到所有形如 (2^p)-1 的素数，也就找到了所有偶完美数。所以哈吉拉特瓦拉先生不但找到了世界上已知的最大的素数，还找到了世界上已知的最大的偶完美数。嗯，你要问，关于奇完美数又是怎么样的情况？回答是：我们现在连一个奇完美数也没有找到过，我们甚至根本不知道是不是有奇完美数存在。我们只知道，要是有奇完美数存在的话，它一定是非常非常大的！奇完美数是否存在这个问题，也是一个上面所说的既简单又美丽，但是极为困难的著名数学问题。

有很长一段时间人们以为对于所有素数p，

　　M_p=(2^p)-1

都是素数（注意到要使 (2^p)-1 是一个素数，p本身必须是一个素数，想一想为什么？）但是在1536年雷吉乌斯(Hudalricus Regius)指出，M_11=(2^11)-1=2047=23*89不是素数。

　　皮特罗·卡塔尔迪(Pietro Cataldi)首先对这类数进行了系统的研究。他在1603年宣布的结果中说，对于p=17，19，23，29，31和37，(2^p)-1是素数。但是1640年费尔马使用著名的费尔马小定理（不要和那个费尔马大定理混淆起来）证明了卡塔尔迪关于p=23和37的结果是错误的，欧拉在1738年证明了p=29的结果也是错的，过后他又证明了关于p=31的结论是正确的。值得指出的是，卡塔尔迪是用手工一个一个验算取得他的结论的；而费尔马和欧拉则是使用了在他们那时最先进的数学知识，避免了许多复杂的计算和因此可能造成的错误。

法国神父梅森(Marin Mersenne)在1644年他发表了他的成果。他宣称对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257，(2^p)-1都是素数，而对于其它小于257的素数p，2p-1都是合数。今天我们把形如M_p=(2^p)-1的素数叫做梅森素数，M_p中的M就是梅森姓氏的第一个字母。

　　用手工来判断一个很大的数是否素数是相当困难的，梅森神父自己也承认他的计算并不一定准确。一直要等到一个世纪以后，在1750年，欧拉宣布说找到了梅森神父的错误：M_41和M_47也是素数。可是伟大如欧拉也会犯计算错误——事实上M_41和M_47都不是素数。不过这可不是说梅森神父的结果就是对的。要等到1883年，也就是梅森神父的结果宣布了两百多年后，第一个错误才被发现：M_61是一个素数。然后其它四个错误也被找了出来：M_67和M_257不是素数，而M_89和M_107是素数。直到1947年，对于p<=257的梅森素数M_p的正确结果才被确定，也就是当p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和127时，M_p是素数。现在这个表已经被反复验证，一定不会有错误了。

　　下面是我们现在知道的所有梅森素数的列表：（我们注意到梅森神父的名字不在上面——这种素数已经由他的名字命名了，就把荣誉分给最后确认者吧。）

序号 p M_p的位数 相对应的 确认 确认人
完美数的 年代
位数
1 2 1 1 ---- ----
2 3 1 2 ---- ----
3 5 2 3 ---- ----
4 7 3 4 ---- ----
5 13 4 8 1456 佚名
6 17 6 10 1588 Cataldi
7 19 6 12 1588 Cataldi
8 31 10 19 1772 Euler
9 61 19 37 1883 Pervushin
10 89 27 54 1911 Powers
11 107 33 65 1914 Powers
12 127 39 77 1876 Lucas
13 521 157 314 1952 Robinson
14 607 183 366 1952 Robinson
15 1279 386 770 1952 Robinson
16 2203 664 1327 1952 Robinson
17 2281 687 1373 1952 Robinson
18 3217 969 1937 1957 Riesel
19 4253 1281 2561 1961 Hurwitz
20 4423 1332 2663 1961 Hurwitz
21 9689 2917 5834 1963 Gillies
22 9941 2993 5985 1963 Gillies
23 11213 3376 6751 1963 Gillies
24 19937 6002 12003 1971 Tuckerman
25 21701 6533 13066 1978 Noll & Nickel
26 23209 6987 13973 1979 Noll
27 44497 13395 26790 1979 Nelson & Slowinski
28 86243 25962 51924 1982 Slowinski
29 110503 33265 66530 1988 Colquitt & Welsh
30 132049 39751 79502 1983 Slowinski
31 216091 65050 130100 1985 Slowinski
32 756839 227832 455663 1992 Slowinski & Gage
33 859433 258716 517430 1994 Slowinski & Gage
34 1257787 378632 757263 1996 Slowinski & Gage
35 1398269 420921 841842 1996 GIMPS
36 2976221 895932 1791864 1997 GIMPS
37 3021377 909526 1819050 1998 GIMPS
?? 6972593 2098960 4197919 1999 GIMPS

　　是不是有无穷多个梅森素数呢？数学家们目前还无法回答这个问题。

三、寻找更大的素数

　　为什么要寻找梅森素数？为什么要打破已知最大素数的纪录？这有什么用处呢？

　　如果你所说的用处是指能够直接创造物质财富，那么我不得不告诉你——梅森素数没有什么用处，多知道一个非常大的素数似乎也没什么用处。即使我们知道了一个无比巨大的梅森素数，也不会使我们的钱包增加一分钱（嗨等一等！如果你只对钱感兴趣的话，也请不要立刻撇下我的文章。我其实是说，我上面说的话要排除我在这篇文章题目中提到的那十万美元的奖金——你的钱包也许会因此鼓起来的。所以请耐心一点）。

　　但是人类并不只需要物质财富。博物馆里的钻石有什么用场呢？为什么人类要收集它们？因为它们美丽而稀少。作为人类智慧的结晶，素数、梅森素数和与它密切相关的完美数是非常美丽的。它们的定义简单，却又如此神秘莫测，象欧几里德、笛卡尔、费尔马、莱布尼兹、欧拉这样的伟大数学家都因为它们的美丽而对它作过大量研究；大家也看到，两千多年来，经过无数代人的辛勤工作，我们一共只收集到38个梅森素数，它们是非常稀少的。对于数学家来说，搜集素数、梅森素数和完美数是和收集钻石一样富有乐趣的事情。

　　人类还需要荣耀——也许更胜于财富。在体育运动中，能够跑得更快一点，跳得更高一点，难道真的有实际物质方面的用途吗？不，我们喜欢接受挑战，我们希望能赢。打破一个体育世界记录，攀登珠穆朗玛峰，驾船横穿太平洋……，那是对人类体能极限的挑战；而寻找更大的素数，则是一项对人类智慧的挑战。当我们完成了一项前所未有的任务时，我们总会感到无比骄傲。1963年，当第23个梅森素数被找到时，发现它的美国伊利诺斯大学数学系是如此地骄傲，以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“(2^11213)-1是个素数”的邮戳。

在欧拉证明M_31是素数以后，下一个最大素数的记录由兰德里(Landry)于1867年获得：M_59/179951=3203431780337。这不是一个梅森素数。这个记录保持了九年。

　　1876年爱德华·卢卡斯使用了一个比费尔马和欧拉的方法更先进的手段，证明了M_127是一个素数。这个记录保持了七十五年。直到费里叶(Ferrier)于1951年使用一部手摇计算机证明了(2148+1)/17是一个素数，它有41位数。

　　借助手摇计算机的方法要算作手工计算方法还是要算做计算机方法，大概是可以探讨的问题。不过技术的发展一下子把这种争论变得毫无必要。值得指出的是，在人类寻找大素数的旅途中，数学理论的改善要远远比具有强大坚韧的计算能力重要得多。卢卡斯的方法在1930年被勒梅(Lehmer)简化后，卢卡斯-勒梅测试成为现在寻找梅森素数的标准方法。

（卢卡斯-勒梅测试：对于所有大于1的奇数p，M_p是素数当且仅当M_p整除S(p-1)，其中S(n)由S(n+1)=S(n)2-2，S(1)=4递归定义。这个测试尤其适合于计算机运算，因为除以M_p=2p-1的运算在二进制下可以简单地用计算机特别擅长的移位和加法操作来实现。判断一个梅森数是素数的方法比判断一个差不多大小的其他类型数是素数的方法要简单得多，所以在寻找最大素数的过程中，大部分纪录都是梅森素数。）

　　在1951年米勒和维勒(Miller & Wheeler)借助于EDSAC计算机（这种计算机还不如我们现在使用的一般计算器，它只有5K的内存）发现了长达79位的素数180(M_127)2+1。这个记录还是没能保持多久。次年罗宾逊应用SWAC计算机，在1952年初发现了第13和第14号梅森素数：M_521和M_607，后面连续三个梅森素数也在同一年被陆续发现：M_1279，M_2203和M_2281。

　　在那以后的年代里，为了打破巨大素数纪录而使用的计算机越来越强大，其中有著名的IBM360型计算机，和超级计算机Cray系列。大家可以参看上面的梅森素数表来了解这个竞赛过程。在此其间只有一次一个不是梅森素数的素数坐上过“已知最大素数”的宝座，它是39158*2216193-1，在1989年被发现。1996年发现的M_1257787是迄今为止最后一个由超级计算机发现的梅森素数，数学家使用了Cray T94。

　　然后，GIMPS的时代到来了。

四、GIMPS——互联网梅森素数大搜索

　　1995年程序设计师乔治·沃特曼(George Woltman)开始收集整理有关梅森素数计算的数据。他编制了一个梅森素数寻找程序并把它放在网页上供数学爱好者免费使用。这就是“互联网梅森素数大搜索”计划(GIMPS，the Great Internet Mersenne Prime Search)。在这个计划中，十几位数学专家和几千名数学爱好者正在寻找下一个最大的梅森素数，并且检查以前梅森素数纪录之间未被探索的空隙。比如上面的梅森素数表中，最后那个素数的序号是未知的，我们不知道第37号梅森素数和它之间是否还存在着其他未被发现的梅森素数。

　　1997年斯科特·库尔沃斯基(Scott Kurowski)和其他人建立了“素数网”(PrimeNet)，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要你去GIMPS的主页下载那个免费程序，你就可以立刻参加GIMPS计划搜寻梅森素数。几乎所有的常用计算机平台都有可用的版本。程序以最低的优先度在你的计算机上运行，所以对你平时正常地使用计算机几乎没有影响。程序也可以随时被停止，下一次启动时它将从停止的地方继续进行计算。

　　从1996年到1998年，GIMPS计划发现了三个梅森素数：M_1398269、M_2976221和M_3021377，都是使用奔腾型计算机得到的结果。

　　1999年3月，在互联网上活动的一个协会“电子边界基金”(EFF，Electronic Frontier Foundation)宣布了由一位匿名者资助的为寻找巨大素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过一百万位的素数的个人或机构颁发五万美元的奖金，这就是我们最一开始说到的哈吉拉特瓦拉得到的奖金。后面的奖金依次为：超过一千万位，十万美元；超过一亿位，十五万美元；超过十亿位，二十五万美元。

　　搜寻结果的验证和奖金的颁发是非常严格的。比如说，得到的结果必须是显式的——你不能宣称你的结果是一个有一百个方程组成的方程组的解，却不把它解出来。结果必须由另一台计算机独立验证。所有这些规则都在EFF网站上进行了解释。

　　应该指出的是，通过参加GIMPS计划来获得奖金的希望是相当小的。哈吉拉特瓦拉使用的计算机是当时21000台计算机中的一台。每一个参与者都在验证分配给他的不同梅森数，当然其中绝大多数都不是素数——他只有大约三万分之一的可能性碰到一个素数。

　　下一个十万美元的奖金将被颁发给第一个找到超过一千万位的素数的个人或机构。这一次的计算量将大约相当于上一次的125倍。现在GIMPS得到的计算能力为每秒7000亿次浮点运算，和一台当今最先进的超级矢量计算机，比如Cray T932的运行能力相当。但是如果GIMPS要使用这样的超级计算机，一天就需要支付大约二十万美元。而现在他们需要的费用，只不过是支持网站运行的费用，和总共几十万美元的奖金罢了。

五、网上分布式计算计划

　　GIMPS只不过是互联网上众多的分布式计算计划中的一个罢了，GIMPS主页上就有这些计划的介绍。

　　分布式计算是一门计算机学科，它研究如何把一个需要非常巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分，然后把这些部分分配给许多计算机进行处理，最后把这些计算结果综合起来得到最终的结果。有时侯计算量是如此之大，需要全世界成千上万甚至更多台计算机一起工作，才能在合乎情理的时间内得到结果。GIMPS计划就是在进行这样的分布式计算。

　　但它并不是最著名的分布式计算计划。致力于寻找宇宙中智慧生命的“搜寻地外文明计划”(SETI计划)中的SETI@HOME工程，已在全世界招募了290万名(!)志愿者，利用屏幕保护程序来处理射电望远镜接受到的大量的宇宙间传来的无线电信号。如果你参加这个计划，也许有一天会在你的计算机上破译出外星人发来的问候呢。

　　你也可以用你的计算机空余的计算能力为人类征服癌症作出贡献。英国科学家设计了类似SETI@HOME工程的分布式计算屏保，它从有关网站下载数据，分析化学物质分子的抗癌性能，然后将分析结果通过互联网传回给研究人员，作为研制新型抗癌药物的参考。这项工程将于2001年4月3日在美国加利福尼亚州正式启动。

　　计算机硬件的更新令人目不暇接，上半年买的最新式的个人电脑，在下半年就变成了大路货。三四年前的CPU，现在变得一钱不值——也许不能这么说，你根本就买不到它们了——市面上最便宜的CPU也要比它们强大得多。而一台普通的家用计算机连续运转五年也是没有问题的。所以，对待计算机的最经济的态度就是：让它运转。

　　而人类还有那么多的东西需要计算，还有那么多的问题需要找到回答，还有那么多的难关需要克服。我们需要越来越巨大的计算能力，我们也拥有这样的计算能力，只是太多太多被白白地闲置浪费掉了。互联网已经使大规模的分布式计算计划成为可能。现在，我们唯一需要的，就是这个网上每一个结点上计算机用户的意愿和信心了。

　　全世界的计算机联合起来！

碧城仙

发现“素数王”的意义
  新华网 （2004-06-22 12:50:32） 来源：国际先驱导报
  

   从欧几里德的年代算起，直到1个月前人类还只知道40个“梅森素数”。

　国际先驱导报文章 不久前，美国国家海洋和大气局（NOAA）信息技术顾问、数学爱好者乔希·芬德利使用一台装有2.4GHz奔腾处理器的个人计算机，发现了目前世界上已知的最大素数。该素数为2——24036583－1【2后数字上标】，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！科学家认为，这项成果是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。

素数之王

    素数又称质数，是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数（如2、3、5、7……）；素数有无穷多个。数学中形如2——P－1【2后数字上标】（其中P为素数）的素数称为梅森素数；它是以17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森的姓命名的，因为他对这一特殊形式的素数作了大量计算和验证工作。

    早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里德就开创了探索这一类素数的先河，他在《几何原本》这一经典著作中论述完美数时曾研究过2——P－1【2后数字上标】型素数。不少著名数学家如费马、笛卡尔、莱布尼兹、欧拉、哥德巴赫、鲁卡斯、柯尔等也研究过这一素数。2000多年来，人类仅找到41个梅森素数；而近百年来，人们发现的当时已知最大素数几乎都是梅森素数。梅森素数是数论研究中的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点。这类素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。

英雄求解

    梅森素数貌似简单，而研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。

    1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，以惊人的毅力靠心算证明2——31－1【2后数字上标】（即2147483647）是第8个梅森素数，该素数有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数；他因此获得了“数学英雄”的美名。

    1963年9月6日晚8点，当第23个梅森素数通过大型计算机发现时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息；而发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以致把所有从系里发出的信件都敲上了“2——11213－1【2后数字上标】是个素数”的邮戳。

    尤其值得一提的是，中国数学家及语言学家周海中经过多年研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；后来这一成果被国际数学界命名为“周氏猜测”。

网格显威

    网格（Grid，也称第三代因特网）的出现，使寻找梅森素数的研究者如虎添翼。1996年，美国数学家和程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用；这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。它由24万多台计算机联网进行网格计算，以寻找新的梅森素数。

    芬德利就是参加该项目的全球7.5万名志愿者之一，他花了14天时间于今年5月15日发现了第41个梅森素数（即2——24036583－1【2后数字上标】），该素数已得到数学家的验证；它是与“大搜索”因特网联通的个人计算机发现的第7个梅森素数。此前，国际电子新领域基金会（IEFF）宣布了由一位匿名者资助的、为通过GIMPS项目寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金计划。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元；后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。但据悉，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于好奇心、荣誉感和探索精神。

    链接：为何寻找梅森素数？

    寻找梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；它推动了数学皇后——数论的发展，也促进了计算数学、程序设计技术、因特网技术以及密码技术的发展。

    寻找梅森素数的方法还可用来测试计算机硬件运算是否正确。科学家们认为，对于梅森素数的研究能力如何，已在某种意义上标志着一个国家的科技水平。可以预见，梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特魅力，吸引更多有志者去寻找和研究。

碧城仙

以下转自http://blog.csdn.net/zdg/archive/2004/06/02/874.aspx
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美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位
　　新华网伦敦6月1日电 (记者 曹丽君) 美国一位数学爱好者近日发现了已知最大的素数。这个素数共有7百万位，可写成2的24036583次方减1。这是人类发现的第41个梅森素数。

　　据《新科学家》杂志网站1日报道，这位名叫约翰·芬德力的数学爱好者五年前用自己的家用台式电脑加入了“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)活动，他也是用这台普通的台式机偶然间发现这个素数的。在5月30日正式向外界公布这一消息之前，他还花费了两周的时间进行验证。而另外两位身在法国和加拿大的“因特网梅森素数大搜索”活动的志愿者也证实了芬德力的发现。而就在半年前，美国的一位学生曾发现第40个梅森素数，它共有6320430位数。

　　素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，例如2、3、5、7、11等。2500年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2的n次方减1”的形式，这里n也是一个素数。此后许多数学家曾对这种素数进行研究，17世纪的法国教士马丁·梅森(Mersenne)是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数。

　　1995年，美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料，编制了一个梅森素数计算程序，并将其放置在因特网上供数学爱好者使用，这就是“因特网梅森素数大搜索”计划。目前有6万多名志愿者、超过20万台计算机参与这项计划。该计划采取分布式计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，获得相当于超级计算机的运算能力，第37、38和39个梅森素数都是用这种方法找到的。美国一家基金会还专门设立了10万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。

趣闻：
　　梅森数的因子有时非常难找，美国数学家科尔在1903年10月的一次学术会议上走上讲台，在黑板上计算了2^67－1，接着，他又把193707721和761838257287两个数用直式相乘，两次计算结果完全相同。他一句话都没有说，就回到了自己的座位上，全场顿时以暴风雨般的掌声向他表示祝贺。这个"不说话的报告"已经成为数学史上的佳话。

前40个Mersenne：

# p digits year discoverer (reference)
1 2 1 antiquity   
2 3 1 antiquity   
3 5 2 antiquity   
4 7 3 antiquity   
5 13 4 1461 Reguis 1536, Cataldi 1603
6 17 6 1588 Cataldi 1603
7 19 6 1588 Cataldi 1603
8 31 10 1750 Euler 1772
9 61 19 1883 Pervouchine 1883, Seelhoff 1886
10 89 27 1911 Powers 1911
11 107 33 1913 Powers 1914
12 127 39 1876 Lucas 1876
13 521 157 1952 Lehmer 1952-3, Robinson 1952
14 607 183 1952 Lehmer 1952-3, Robinson 1952
15 1279 386 1952 Lehmer 1952-3, Robinson 1952
16 2203 664 1952 Lehmer 1952-3, Robinson 1952
17 2281 687 1952 Lehmer 1952-3, Robinson 1952
18 3217 969 1957 Riesel 1957
19 4253 1281 1961 Hurwitz 1961
20 4423 1332 1961 Hurwitz 1961
21 9689 2917 1963 Gillies 1964
22 9941 2993 1963 Gillies 1964
23 11213 3376 1963 Gillies 1964
24 19937 6002 1971 Tuckerman 1971
25 21701 6533 1978 Noll and Nickel 1980
26 23209 6987 1979 Noll 1980
27 44497 13395 1979 Nelson and Slowinski 1979
28 86243 25962 1982 Slowinski 1982
29 110503 33265 1988 Colquitt and Welsh 1991
30 132049 39751 1983 Slowinski 1988
31 216091 65050 1985 Slowinski 1989
32 756839 227832 1992 Gage and Slowinski 1992
33 859433 258716 1994 Gage and Slowinski 1994
34 1257787 378632 1996 Slowinski and Gage
35 1398269 420921 1996 Armengaud, Woltman, et al.  
36 2976221 895832 1997 Spence, Woltman, GIMPS (Devlin 1997)
37 3021377 909526 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski, GIMPS
38 6972593 2098960 1999 Hajratwala, Woltman, Kurowski, GIMPS
39? 13466917 4053946 2001 Cameron, Woltman, GIMPS (Whitehouse 2001, Weisstein 2001ab)
40? 20996011 6320430 2003 Shafer, GIMPS (Weisstein 2003ab)

美国Illinois发行的邮票：


相关连接：
　GIMPS Home Page ：http://www.mersenne.org/
　　This page contains a description of the GIMPS Project. Also offered is a description of Mersenne numbers and some related links.GIMPS, the Great Internet Mersenne Prime Search, was formed in January 1996 to discover new world-record-size Mersenne primes.
　GIMPS中文：http://www.equn.com/gimps/
　The Prime Pages：http://www.utm.edu/research/primes/

发表于 2004年06月02日 6:37 PM


评论
# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-03 4:15 PM a
找到又如何？



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-03 4:26 PM 小学生
看看原文,翻译连基本数学常识都不懂

On May 15, 2004, Josh Findley discovered the 41st known Mersenne Prime, 2(24,036,583)-1. The number is nearly a million digits larger than our last find and is now the largest known prime number!





# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-03 4:45 PM 学生
<script>



# 本文的严重失实 2004-06-03 4:59 PM 数学爱好者
本文的严重失实

1 题目应该为"美数学爱好者发现已知最大梅森素数",因为从数学上讲,发现"已知最大素数"是毫无科学意义的,美数学爱好者的目的是发现更大的梅森素数,而不是发现更大的素数,虽然美数学爱好者发现已知最大梅森素数是目前已知最大的素数,但是并非美数学爱好者本意.所以本文标题是喧宾夺主,混淆视听.
2 "美国一家基金会还专门设立了10万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人",这句话应该是"鼓励第一个找到超过千万位梅森素数的人",如果是查找超过千万位素数,用一个286的计算机,不出一个月也能找到.而找超过千万位梅森素数,则执行时间无法估量,甚至能否找到都无法保证.



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-03 5:06 PM hh
不爽 好几天上不了论坛了！



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-03 5:23 PM 周周扒皮
谁对孪生质数有研究？



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-03 5:48 PM 123
国内还有哪些好一点的论坛，我看要搬家了



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-03 6:57 PM KAO...
本文的严重失实

1 题目应该为"美数学爱好者发现已知最大梅森素数",因为从数学上讲,发现"已知最大素数"是毫无科学意义的,美数学爱好者的目的是发现更大的梅森素数,而不是发现更大的素数,虽然美数学爱好者发现已知最大梅森素数是目前已知最大的素数,但是并非美数学爱好者本意.所以本文标题是喧宾夺主,混淆视听.
2 "美国一家基金会还专门设立了10万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人",这句话应该是"鼓励第一个找到超过千万位梅森素数的人",如果是查找超过千万位素数,用一个286的计算机,不出一个月也能找到.而找超过千万位梅森素数,则执行时间无法估量,甚至能否找到都无法保证.
-----------------------------------------
兄弟,CSDN经常这样,不要生气.习惯了就没事了.



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 10:09 AM 暗暗啊
是呀 说说吗 你看看我们国呢的论谈就这种水平 想搞学问 都没办法讨论 太差了吧



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 10:23 AM 往往
在印度不是有学生发行了一个很巧妙的公司计算素数吗？
他的那还有什么用呀，找素数的公司都要倒闭了，我看这样的人也就研究没有用的还有什么用呀！！！



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 10:45 AM AM
素数离普通人太远了

我想知道CSDN论坛何时能开放？
天呐 CSDN也染上了官僚习气

一声叹息……



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 12:34 PM aaa
兄弟，素数离普通人并不远呀，大量的密码学理论都是以素数为基础的



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 12:52 PM jdk
什么啊，标题，大名，网址，评论！！！
我考，我以为是csdn



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 2:32 PM 快离开CSDN的人
倒 失望ing CSDN ！·



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 3:51 PM dddd
素数离普通人太远了

我想知道CSDN论坛何时能开放？
天呐 CSDN也染上了官僚习气

一声叹息……




# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 6:36 PM 疯了
凑热闹回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 7:19 PM ]

l回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 7:46 PM 垃圾
论坛何时开放不是csdn能决定的！！！！
回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 8:06 PM lllaaa
过了今天就好了；）回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 10:24 PM tet
据不可靠消息,CSDN论坛出严重入侵事件,其数据库,被N句Delete 语句杀了,现在正在数据恢复中...回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-04 11:42 PM ha
dd回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 1903？ 2004-06-05 12:02 AM 八婆永流传
梅森数的因子有时非常难找，美国数学家科尔在1903年10月的一次学术会议上走上讲台，在黑板上计算了2^67－1，接着，他又把193707721和761838257287两个数用直式相乘，两次计算结果完全相同。他一句话都没有说，就回到了自己的座位上，全场顿时以暴风雨般的掌声向他表示祝贺。这个"不说话的报告"已经成为数学史上的佳话。
-----------------------------------------------------------------------
请同学们描述一下1903年的中国，顺便描述一下2004年的中国。1903？



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-05 12:48 AM intersun
真不明白，为什么11不是素数？小学时就学过的呀，11也是啊？回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-05 8:50 AM 天哪
论坛啊，论坛！回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-05 9:41 AM flxa
大素数对于我们好像没有什么用，但对于加密是很有用的。许多加密都是以素数理论为基础的，

问一下：有几个是数学系的，有几个人为什么陈景润要证明“1+1”猜想.回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-05 1:01 PM 我
外国的月亮就是比中国圆！看看外国有多少科学家，中国呢？回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-05 1:57 PM www
怎么算的呀,有源码没有回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-05 9:40 PM anonymous
faint, do you know what's the bigest number first.回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复 2004-06-05 10:31 PM peter
11是素数啊，那张表p指的是p次方回复



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 4:13 AM carlosaa
下面的有疑惑的人请注意：
1。11是素数，不是梅森素数。看本文的要注意这么一点。写文章的作者似乎没有说的很清楚，让人有了误解。
2。为什么陈景润想证明歌德巴赫？答案是：不为什么。当然在寻求证明的过程中，会有许多新的有用的理论出现，这些理论也许比歌德巴赫猜想本身更有应用价值。
3。寻求大的素数实在是很重要（密码理论等），不要认为寻找它是一种无聊，正如不懂编程的人认为编程很无聊。回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 7:47 AM magic
用286算超过1000w位的大素数？？呵呵，好好玩~~~~

不懂别乱说啊，不信你自己编个程序找一个出来。回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 9:02 AM tudou614
梅森素数不知是什么！！

我是学控制的，不过却知道梅森公式，还有那个劳思表和公式，1896年的东西了，老师从来都是照本宣科，我没觉得那两条公式有什么高深的用处，学好线形代数的人按照“克莱姆法则”，一眼就看出来了 ！！！！！！！回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 12:40 PM magic
别忘了,所谓的CSDN不过是一家公司,有它自己赢利目地,价值取向和炒作方式,这些在红旗下长大的孩子们啊,总是觉得领导就是父母官,其实用户才是CSDN的父母呢回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 12:47 PM whd
没有论坛的CSDN简直就是......他们的这些网管，技术人员简直是吃白饭的SB，看IT新闻门户网站上都有，去论坛大家到delphibbs.com，以后不要来这鬼地方。
回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 12:47 PM whd
CSDN已经出格了，大家还是对它死心了吧，以后不要来这里了。回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 4:16 PM 突突突
!

CSDN的技术水平太差了,没有事先作好准备就关了论坛,在没有能力及时开通的同时又没有任何说法,服务意识太欠缺.

%%%%%% 永久离开CSDN倒计时(设定为3天).3


!回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 7:01 PM dazern
素数有最大吗？？？？？？？？？回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 7:04 PM dazern
哎，CSDN怎么搞的。刚才还听人说该网址了
说是：www.csdn.com.cn
真把我给气晕了，我还以为真改了，进去才知道被骗了。这小子下次别让我碰到。
哎，怎么这么让人心寒啊！！回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-06 7:58 PM 愛
关于CSDN论坛,大家只想要一个明确的解释。
难道这麽大的一个论坛说没了就没了麽?
不管结果如何,做事要善始善终,要对大家负责呀！回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-07 11:08 AM songqzs
如果我能找到更高位数的素数，又怎么样呢？？？
回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位



# 回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位 2004-06-07 5:26 PM frog-in#
高中时也为那一百万冲击了一下，
后来，后来因为数字太繁放弃了回复：美数学爱好者发现已知最大素数 共七百万位

碧城仙

-------------------------------------------------------------------------------------------------
“孪生素数猜想”
　　1849年，波林那克提出孪生素生猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决，但一般人都认为是正确的。
-------------------------------------------------------------------------------------------------
“费马最後定理”
　　在三百六十多年前的某一天，费马突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2

　　的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）。

　　费马声称当n>2时，就找不到满足

　　xn +yn = zn

　　的整数解，例如：方程式

　　x3 +y3=z3

　　就无法找到整数解。

　　始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。

　　不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。
-------------------------------------------------------------------------------------------------

碧城仙

3x+1问题

一、一个简单的问题

当我们阅读数学史时，会有这样一种印象，数学家们首先研究简单的
问题，然后研究越来越复杂的问题。经常性地，高深的数学问题是非
常复杂的。只是为了理解问题，我们就得学习非常多的数学知识；而
为了解决它，那就得用更复杂的数学知识了。就算我们在学校里的数
学考试也是如此，最后一题经常被叫做“最后一大题”，“一大题”
是说它表达复杂，里面还有一二三四的小题，要理解题意就得几分钟
的时间。弄不好还理解错了，搞得整道题都白白做，被扣去许多分。

可是数学里不只有这些吓人的“大题”——我是说，数学里还有吓人
的“小题”。这样的“小题”理解起来非常容易，却让无数数学家大
跌眼镜，怎么冥思苦想也不得其解。3x+1问题大概就是其中最著名而
又最简单的一个。它简单到大概任何一个会除2和会乘3的人（比如说，
没文化但是经常买菜的老奶奶）都能理解它的意思，但是困难得让数
学家至今也没有找到好好对付它的方法。

任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，
我们就把它乘3再加上1。在这样一个变换下，我们就得到了一个新的
自然数。如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数。

比如说我们先取5，首先我们得到3*5+1=16，然后是16/2=8，接下去
是4，2和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在4→2→1这个循环中了。

再举个例子，最开始的数取7，我们得到下面的序列：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在4→2→1这个循环中。

随便取一个其他的自然数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你
总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得到1。已经有人对所
有小于100*250=112589990684262400的自然数进行验算，无一例外。

那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？

这看起来是个多么简单的问题啊！


二、克格勃的阴谋？

这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的。在西方它常被称为
西拉古斯(Syracuse)猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古
斯大学被研究的；而在东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家
角谷静夫的名字命名，被称作角谷猜想。除此之外它还有着一大堆其
他各种各样的名字，大概都和研究和传播它的数学家或者地点有关的：
克拉兹(Collatz)问题，哈斯(Hasse)算法问题，乌拉姆(Ulam)问题等
等。今天在数学文献里，大家就简单地把它称作“3x+1问题”。

角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有
人都着力于解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大
学发生了。有人猜想，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍
美国数学的发展。”不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑。
这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不
可求。

数学家们已经发表了不少篇严肃的关于3x+1问题的数论论文，对这个
问题进行了各方面的探讨，在后面我会对这些进展作一些介绍。可是
这个问题的本身始终没有被解决，我们还是不知道，“到底是不是总
会得到1？”

在1996年B. Thwaites悬赏1100英镑来解决这个问题。我写一下这个
悬赏的文献：Thwaites, B. “Two Conjectures, or How to win
￡1100.”Math.Gaz. 80, 35-36, 1996，好在大家万一证出来时知
道跑哪里去领奖。看在钱大爷的份上，3x+1问题于是又多了个名字，
叫Thwaites猜想。

要是真的有这么一个自然数，对它反复作上面所说的变换，而我们永
远也得不到1，那只可能有两种情况。

1)它掉到另一个有别于4→2→1的循环中去了。我们在后面可以看到，
要是真存在这种情况，这样一个循环中的数字，和这个循环的长度，
都会是非常巨大的；
2)不存在循环。也就是说，每次变换的结果都和以前所得到的所有结
果不同。这样我们得到的结果就会越来越大（当然其中也有可能有暂
时减小的现象，但是总趋势是所得的结果趋向无穷大）。

因为这是个形式上很简单的问题，要理解这个问题所需要的知识不超
过小学三年级的水平，所以每一个数学爱好者都可以来碰碰运气，试
试是不是能证明它。不过在这里我要提醒大家的是，已经有无数数学
家和数学爱好者尝试过，其中不乏天才和世界上第一流的数学家，他
们都没有成功。如果你在几小时内就找到了一个“证明”，那么把它
一步一步地严格地写下来，看看是不是严密正确（我可以肯定它是错
的，我这样的肯定要冒的危险绝不超过连续中十次彩票头奖的概率，
既然我不买彩票，我就没道理不这么肯定:-)）。事实上，在互联网上
已经有一些错误的“证明”。据说还有个数学爱好者跑到公证处去公
证他的“证明”，生怕别人把他的好主意偷跑了。

二十多年前，有人向伟大的数论学家保尔·厄尔多斯(Paul Erdos)介
绍了这个问题，并且问他怎么看待现代数学对这问题无能为力的现象，
厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题。”


三、一些概念，一些纪录

虽然证不出猜想，但是数学家们还是得到了许多很可能很有用的结论。
让我们先来定义几个概念，然后再来介绍这些结论。

从一个自然数开始，用上面这个变换，我们可以计算出一串自然数的
序列。为了形象起见，我们把这串数列叫做以最初用来开始计算的那
个自然数命名的“航班”。比如说，第6次航班就是
6→3→10→5→16→8→4→2→1
我们把一个航班里的最大数字，叫做这个航班的“最大飞行高度”。
比如说，第6次航班的最大飞行高度就是16。我们把航班在数字1“着
陆”之前的数字个数（最初的数字包含在内，但1不包含在内），叫
做这个航班的“航程”（特别定义第1次航班的航程为0）。第6次航
班的航程就是8。如果真有自然数在此变换下永远达不到1，那么这个
航班的航程就是无穷了。

接下去的概念稍微有点复杂。我们把从起点开始（但不包括起点）连
续的不小于起点的数字的个数，叫作“保持高度航程”。举一个例子
来说明这个概念比较方便：第11次航班是
11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1
我们看到从起点开始，34，17，52，26，13，40，20都不小于起点11，
共有7个数字，所以第11次航班的保持高度航程为7。后面的航程中虽
然还有数字16大于起始点11，但是它不被算在保持高度航程里了。一
个最简单的推论就是，偶数次航班的保持高度航程总是0，因为开始就
除以2，跌到较低的高度去了。

为什么我们对一个航班的保持高度航程感兴趣？因为如果所有航班的
保持高度航程都是有限的话，3x+1问题就成立了。让我们假设已知所
有航班的保持高度航程都是有限的，用数学归纳法来证明3x+1问题，
也就是所有的航班都在1上“着陆”。我们已经知道第1到第5航班都
是在1上着陆的，现在假设对于所有小于n的数字k，第k次航班都在1
上着陆，我们来看看第n次航班的情况：由于按假设它的保持高度航
程是有限的，所以它迟早会降落在一个比n小的数字上——于是按归
纳假设它就会降落在1上！

我们可以对开始的30班航班列出一个相关数据表来：

航班  航程  保持高度航程  最大飞行高度
1      0         0               1
2      1         0               2
3      7         5              16
4      2         0               4
5      5         2              16
6      8         0              16
7     16        10              52
8      3         0               8
9     19         2              52
10      6         0              16
11     14         7              52
12      9         0              16
13      9         2              40
14     17         0              52
15     17        10             160
16      4         0              16
17     12         2              52
18     20         0              52
19     20         5              88
20      7         0              20
21      7         2              64
22     15         0              52
23     15         7             160
24     10         0              24
25     23         2              88
26     10         0              40
27    111        95            9232
28     18         0              52
29     18         2              88
30     18         0             160

下面要说说几个记录。在上面我们已经说过，目前3x+1问题已经被检
验到100*250=112589990684262400，都没有发现反例。这是葡萄牙阿
弗罗(Aveiro)大学的Tomas Oliveira e Silva的工作，用了很巧妙
的编程方法。他的主页在http://www.ieeta.pt/~tos/3x+1.html

如果一个航班的航程大于所有它前面的航班的航程，我们就把它叫作
“航程纪录航班”，比方说第7航班，它的航程是16，比第1到6次航班
的航程都长，所以第7航班是个航程纪录航班。今天我们已经知道的航
程纪录航班有118个，航程最长的是2234047405400065次航班，它的
航程是1871，这是Eric Roosendaal发现的，他有个个人网站
http://personal.computrain.nl/eric/wondrous/，
里面有各种各样关于3x+1问题的信息，下面的记录也都来自这个网站。

同样的，如果一个航班的保持高度航程大于所有它前面的航班的保持
高度航程，我们就把它叫作“保持高度航程纪录航班”，比方说从上
面的表中我们看到第7航班也是个保持高度航程纪录航班。今天已知的
保持高度航程纪录航班有30个，航程最长是1008932249296231次航班，
它的保持高度航程是1445。

最大飞行高度记录航班就是那些最大飞行高度记录大于所有它前面的
航班的那些航班，现在已知的有76个，最大的是10709980568908647
次航班，到达了350589187937078188831873920282244的高度。

对于一个固定航班N，考虑它在1着陆之前所作的变换，如果把其中除
以2的变换称为“偶变换”并记为E(N)，而把乘以3再加1的变换称为
“奇变换”并记为O(N)。数学家已经证明，O(N)/E(N)<log2/log3。
我们注意到，对有些航班来说，O(N)/E(N)非常接近于log2/log3≈
0.63092975……。有猜想认为它会越来越接近这个数字（也有相反的
猜想，认为不会无限接近），所以大家为此设立了另一个纪录，就是
这个比值比所有以前的航班更接近log2/log3的航班。这样的纪录不多，
现在已知的有15个，其中最后一个是N=100759293214567，I(N)/P(N)
≈0.604938。值得一提的是N=104899295810901231，它的这个比值
还要更靠近，达到0.605413，但是我们不知道它是否是一个纪录，也
就是说，我们不知道所有比它小的航班里，是否还有比这个比值更靠
近log2/log3的。

我们知道，对于任何p，总有至少一个航班，它的航程是p：
2p→2p-1→2p-2→……→4→2→1
但是一般并不需要这么大的航班，就可以达到航程p。在2000年有人提
出要找到最小的航班号，使得它的航程恰好是2000。现在最好的纪录
是第67457283406188652次航班，但谁都不知道这是不是最小的航程为
2000的航班。

计算一个航班的算法是非常简单的——只要除2或乘3加1。但是为了检
验大量的和航次巨大的航班，巧妙的编程方法是非常重要的。上面的
那些纪录都是由几台类似于我们平时使用的那样的计算机得到的结果。
但是如果没有好好地思考和编程，光是硬算，那么使用最先进的计算
机恐怕也得不到这样的结果。

为了验证一个航班的确在1上着陆，并不一定需要把结果计算到1。如
果你已经验证了所有航次小于n的航班都在1上着陆，那么对于第n次航
班，你只要把结果计算到一个小于n的数m就可以了——我们已经验证
过第m次航班在1上着陆。事实上，如果我们只要计算到一个以前的航
班飞行时到达过的数值就可以了，当然这需要记住以前已经到达过的
比较高的高度，这里也必须巧妙地编程使得这样的记忆所使用的内存
比较少。

更重要的是使用数学方法去减少计算量。比如说，任何n=4k+1的航班
最终都会飞到一个比n更小的高度。首先这是奇数，我们乘3加1得到
12k+4，然后连除两次2，就有3k+1<n。所以我们没有必要费功夫去验
证4k+1型的航班。另外偶数次航班第一次变换就被除以2，降低了高
度，所以同样也不需专门验证。只用这样一个小技巧，我们就使计算
量减少到原来的25%。

如果按照这样的思路下去，我们同样不需要考虑16k+3型的航班，只
要考虑到前面的飞行记录：
16k+3→48k+10→24k+5→72k+16→36k+8→18k+4→9k+2→……
而9k+2<16k+3。

我们可以这样追踪下去，考虑256k+i型的航班，其中i取0到255，那
么我们会发现我们需要考虑的类型只有i=27、31、47、63、71、91、
103、111、127、155、159、167、191、207、223、231、239、251、
255。这样我们要作的计算只有最初的8%不到。

而Eric Roosendaal得到上面那些纪录的程序，是建立在对65536k+i
型航班分析的基础上的，其中只有1729种航班需要真正的检验（只有
原来计算量的2.6%）。他的程序还使用了其它的算术技巧，以及可以
同时计算好几个航班。Tomas Oliveira e Silva进一步改进了这些技
巧，从而使得他成为现在3x+1问题验证的世界纪录保持者（他的计算
从1996年8月开始，到2000年4月结束，其间使用了两台133MHz和两台
266MHz的DEC Alpha计算机）。Eric Roosendaal还在和其他人一起
合作进行计算（包括再次验证以前的结果），如果你愿意加入这个研
究项目的话，可以去访问上面给出的他的主页。

（未完）

碧城仙

（接上）


四、理论结果

只要稍微动一下脑筋，我们就知道3x+1问题和下面几个命题都是等价
的：
1)所有的航班的航程都有限；
2)所有的航班的保持高度航程都有限；
3)所有的航班中的偶变换的次数都有限；
4)所有的航班中的奇变换的次数都有限；
5)所有的航班的保持高度航程中偶变换的次数都有限；
5)所有的航班的保持高度航程中奇变换的次数都有限。

R. Terra和C. Everett证明了，“几乎所有的航班都会下降到它的起
始点以下”，也就是说“几乎所有的航班的保持高度航程都有限”。
这里的“几乎所有”是有确定的数学意义的，它是指：

——存在一个自然数n1，在所有小于n1的航班里，最多只可能有1/10
的航班，它们的保持高度航程无限；
——存在一个自然数n2，它比上面的n1要大，在所有小于n2的航班里，
最多只可能有1/100的航班，它们的保持高度航程无限；
——存在一个自然数n3，它比上面的n2要大，在所有小于n3的航班里，
最多只可能有1/1000的航班，它们的保持高度航程无限；
——等等等等……

这好象很接近证明“所有的航班的保持高度航程都有限”了，于是很
接近证明猜想本身了。但是好好想想，这个结论只不过是说明保持高
度航程无限的航班会越来越稀少罢了，它们还是有可能存在的……更
糟糕的是，这个结论一点也没有排除有其它循环存在的可能。

对于在1上着陆的航班，数学家们也得到了一些结果。他们证明了，存
在一个常数c，当n足够大的时候，在比n小的航班中，能够在1上着陆
的航班的个数大于等于nc。在1978年R. Crandal首先给出c=0.05，虽
然小了点，但毕竟是开头一步；然后J. Sander给出c=0.3；在1989年
I. Krasikov得到c=0.43；1993年G. Wirsching得到c=0.48；最后在
1995年D. Applegate和J. Lagarias得到c=0.81。看起来我们越来越
接近c=1这个最终目标了。可是我们不知道现在用来得到c的方法是否
还可以再用下去，就好象在试图征服哥德巴赫猜想的过程中，陈景润
用来证明1+2的方法，似乎不能用来证明1+1了。

1995年的这个证明相当特殊。它使用了计算机程序来解一个十分巨大
的方程组，所以这个证明不能用手工来验证。在论文中，我们看见的
不是一个关于c=0.81的定理的证明，而是一个关于如何写出这个巨大
方程组的说明，和由程序计算出来的结果，以及如何使用这些结果来
解释c=0.81。其他的数学家如果想验证这个结果，必须首先看懂关于
方程组的证明和那些解释，再按照里面的说明来写一个程序（很复杂
的！），运行它，再看看结果是否和文章中的相同。目前四色定理的
证明也是如此，所以数学家对此很不满意。

还有一些结果是关于如果有其他不同于4→2→1的循环存在时，对这样
的循环的性质的研究。R. Crandal和N. Yoneda在1978年证明，如果
这样一个另外的循环存在的话，那么它的长度（就是在这个循环中数字
的个数，比如说循环4→2→1的长度就是3）一定要大于275000。1993
年这个体积增大到17087915，最近的结果是102225496。这些结果是
通过分析包括我们前面提到的各种纪录得到的，所以这些结果我们还
是不能完全通过手工来验证。我们看到，如果真有另外的循环存在的
话，那一定是非常非常巨大的！


五、启发式论证

数学中有一种叫“启发式”的论证方法，建立在估计和概率的手段上。
比如说底下的论证方法就是这个类型的：

“每个数字要么是奇数要么是偶数，如果随便取一个自然数，碰到奇
数和偶数的可能性是一样的。如果我们把一次航班中这一系列数值看
作是随机的话，那么使用奇变换和偶变换的可能性也是一样的，所以
平均在每两次变换中我们有一次是n→3n+1，有一次是n→n/2。所以平
均起来，每次飞行高度的变化就是乘以3/2，于是……就会越飞越高。”

这样的启发式论证就推翻了原来的猜想！但是这个论证显然比较幼稚，
因为它没有考虑到，每一次奇变换后随即而来的一定是一次偶变换，
因为如果n是奇数的话，3n+1一定是偶数；而每一次偶变换后随即而
来的却不一定是一次奇变换。J. Lagarias改进了这个启发式论证。
他指出，如果我们把奇变换后再作偶变换考虑在一起，那么这样得到
的结果可以看作是真的“很随机”。于是有1/2的可能性它是奇数，
有1/4的可能性是一个奇数的2倍，有1/8的可能性是一个奇数的4倍，
等等。于是飞行高度的变化就是以下变换的“平均效应”；

——n乘以3/2，这有1/2的可能（奇变换后再作偶变换的结果为奇数）；
——n乘以3/4，这有1/4的可能（奇变换后再作两次偶变换）；
——n乘以3/8，这有1/8的可能（奇变换后再作三次偶变换）；
…………

于是平均来讲，每次变换后高度的变化就是
c=(3/2)1/2(3/4)1/4(3/8)1/8(3/16)1/16……=3/4
所以高度在总体上来说应该是越来越低，每次大约低25%，最终降到
一个循环上（不过这个论证没有排除有除了4→2→1以外的其他循环）。
这个论证可以使我们使用论证中的模型来计算出，从一个自然数开始，
平均要多少步的这样的飞行（就是保持高度航程中奇变换的次数），
可以使飞行高度降到起始点以下。理论上的数值是3.49265……。如
果我们对3到2000000000（二十亿）之间的航班的保持高度航程中奇
变换的次数取平均值，我们得到3.4926……。这两个结果惊人的一致
性使我们相信上面的启发性模型是正确的。如果它是正确的，那么就
意味着没有保持高度航程无限的航班，于是3x+1猜想就是正确的，至
少可以得出没有飞得越来越高的航班的结论。

可是一个启发性论证，就算再有实验证据来表明它是对的，也只不过
是个论证，只能使我们对猜想的正确性更充满信心。它不能代替真正
的数学证明。比如说，数学家猜想在π的十进位小数表示当中，出现
0到9各个数字的可能性是一样的，对π的数值计算也强烈支持这个猜
想，可是如果没有数学证明，它还是得被叫做一个猜想，而不是定理。

用上面这个启发式的概率模型，我们还可以预言，对于第n次航班，它
的最大飞行高度不会超过Kn2（对于某个常数K）。数值计算表明对于
K=8，这个公式是正确的（同样地，这可以让我们提出猜想，而不是证
明定理）。


六、会不会永远证不出来？

自从哥德尔发表了他的著名的不完备性定理以来，每次碰到一个十分
困难的问题时，数学家们就免不了疑神疑鬼——这会不会证不出来？

哥德尔的不完备性定理说，在包含皮亚诺的自然数公理的数学公理系
统中，总有不可证明的命题存在。公理系统的这种性质叫不完备性。
比如说，如果我们只取欧氏几何的前四条公理，那么平行公理是不能
用这前四条公理证明出来的，也就是说只有前四条公理的平面几何是
不完备的（这个例子不是很严格，因为欧几里德的公理系统在现代观
点下是不严密的，但是我举这个例子只是为了说明不完备性这个概念，
所以关系不大）。

所以说，如果我们只用皮亚诺的自然数公理，甚至再加上现代的集合
论公理系统，也有可能不能证明3x+1问题。甚至即使3x+1猜想其实是
错误的，我们也有可能不能证明这一点。比如说，我们可能发现一个
航班，我们对它进行计算，发现它飞得越来越高，但是无论如何不能
证明它永远也不会回到1上来。

当然无论什么数论问题都有可能搞得数学家们这样疑神疑鬼，虽然其
实是他们还没有发现证明。不过有一些蛛丝马迹表明我们有必要稍微
严肃点看待此问题，因为3x+1问题离不可证明的问题并不太远。

J. Conway（喜欢数学游戏的朋友可能会记起这个名字来，著名的生命
游戏就是他发明的）在1972年考虑了3x+1问题的推广形式。在3x+1问
题里，我们把数字除以2，然后得到了2种可能的余数（0或者1），按
照余数我们使用2个公式（除以2或者乘3加1）。Conway考虑了除以一
个固定的p，按照余数的不同（这时就有p种不同的余数）分别使用p个
公式的情况。然后他提出了一个类似“在1着陆”的猜想。他在论文中
证明了，这个猜想在集合论公理系统中是不可证的。

事实上，在任何一个包含了皮亚诺的自然数公理的数学公理系统中，
Conway的方法都可以定义一个类似于3x+1问题的不可证命题。当然这
不是说有一个在所有公理系统中都不可证的命题。“不可证”总是相
对于某公理系统而言的。当然，Conway的方法并没有说明3x+1问题本
身是不可证的，也没有说它一定是很困难的（事实上有些3x+1问题的
变种是很容易解决的），但是这毕竟说明，有些很象3x+1问题的命题
是不可证的，这把事情搞得很可疑。

1993年，法国里尔(Lille)的基础信息实验室使用了Conway的方法来
演示一套基于逻辑规则的编程形式的威力。同许多数学中的例子一样，
先头看上去最没用的课题，会有很具体的用处。


七、各种变种

数学家总喜欢把问题推广，使它更抽象化和一般化，因为这样可以把
一种在具体某个问题上使用的方法的威力应用到一般的情况上去，从
而得到很有可能是出乎意料的结论。

数学家们首先考虑，如果把3x+1问题的规则运用到负整数上去，会产
生什么现象。他们发现了三个不同的循环：
1)-1→-2
2)-5→-14→-7→-20→-10
3)-17→-50→-25→-74→-37→-110→-55→-164→-82→-41→-122
→-61→-182→-91→-272→-136→-68→-34
他们猜想，这就是所有的循环，而所有的负整数都会掉进其中一个里。

他们还提出了5x+1问题，也就是在奇数的情况下用5x+1来取代3x+1。
这下又有好几个循环：
1)6→3→16→8→4→2→1
2)13→66→33→166→83→416→208→104→52→26
3)17→86→43→216→108→54→27→136→68→34
但是5x+1问题中的第7次航班好象老在那里飞啊飞，怎么也跑不到一个
循环里去，但是谁都不能证明的确如此。

上面Lagarias的那个启发式论证使得数学家猜想，如果q是大于3的奇
数的话，对于qx+1问题，总存在至少一个航程无穷的航班，这看起来
很象是一个“反3x+1问题”。

还有许多其他的3x+1问题的推广，一些结果把它们和其它数学领域联
系起来，比如说素数理论，某些丢番图方程（求解系数为整数的方程
的整数根，比如著名的费尔马大定理就是一个丢番图问题），马尔可
夫链（概率论中的递归理论），遍历理论（一种关于函数混合递归的
理论）。

就算3x+1问题终于被解决了，看看所有这些变种，也够数学家们自娱
自乐上几百年的了。

相关链接：
http://www.ieeta.pt/~tos/3x+1.html
http://personal.computrain.nl/eric/wondrous/

碧城仙

三环亲和数链是否存在


　　在发表于《中华读书报》（2001-8-29科技视野版）《数学科普：
常识性谬误流传令人忧 》一文中，在谈三环亲和数链是否存在时，
我写了如下一段话：

　　到底现在有没有发现三环亲和数链呢？

　　英国人西蒙·辛格著，薛密译的《费马大定理》一书第57页给
出了一个三元数组：

　　1945330728960；2324196638720；2615631953920；

书中指出这个三元数组中“第一个数的因数加起来等于第二个数，
第二个数的因数加起来第于第三个数，而第三个数和因数加起来等
于第一个数。”因而这三个数恰好构成了一个三环亲和数链。

　　由于这几个数太大，自己当时并没有进行验证就引用了书中的
结论。在自己的稿件寄出后，我与一位叫王承军的朋友共同通过编
程检验了一下。检验结果证实了自己当时的草率。实际上，这个三
元数组中第一数的所有真因数之和并不等于第二个数，而是等于第
二个数与第三个数之和；而第二个数的所有真因数之和也不等于第
三个数，而是等于第一个与第三个数之和；而第三个的所有真因数
和等于第一个与第二个数之和。简而言之，每个数的真因数之和都
等于另两个数之和。于是，显然的结论是上述三元数组根本不是三
环亲和数链。实际上，符合这一性质的数组有另外的名称。在谈祥
柏先生的《数：上帝的宠物》一书209页引用外国一数论学者的称
法将其叫做“金兰数”。书中同时给出了迄今为止发现的两组金兰
数的例子。

　　最小的金兰数是：123228768，103340640，124015008。

　　另一组用书中的记法是：

　　214·3·5·19·31·89·151；214·5·11·19·29·31·151；
　　214·5·19·31·151·359

　　如果转化成通常记法的话分别为：

　　1945330728960，2324196638720，2615631953920。

正是《费马大定理》一书中给出的三元数组。通过亲自验证我可以
给出结论：谈祥柏先生书中的说法是正确的，这一组数是金兰数，
而并非三环亲和数链。

　　那么，三环亲和数链是否存在呢？我只能非常谨慎地说，据我
目前所了解的有限资料看，答案是否定的。

　　这一错误也使我意识到自己的文章中可能存在更多自己没有发
现的问题。因而，我真诚地希望能够得到同行老师的批评指正。



附：数学科普：常识性谬误流传令人忧

韩雪涛

《中华读书报》2001年8月29日

　　2000年，曾被国际数学联盟定为“世界数学年”，其主要宗旨在于“使数学
及其对世界的意义被社会所了解，特别是被普通公众所了解”。这就把数学普及
工作放到了一个显著的位置上。然而，我国在这方面的工作似乎很难乐观。正如
胡作玄老师在《数学上未解的难题》一书中指出的：“本来就相当荒芜的数学科
普领域，充斥着许多东拼西凑的假冒伪劣产品，有的人在抄的方面都不负责任，
其结果是错误百出，误导读者。”诚如胡老师所言！错误事实不断误用的现象在
数学科普界确实普遍存在着。下面举出几个较为典型的例证。

　　
疏率、约率、密率、祖率

　　中国南北朝时期的著名数学家祖冲之曾得到与圆周率有关的两项重要成果。
其一，他算得圆周率介于3.1415926与3.1415927之间。其二，他用两个分数22/
7与355/113近似表示圆周率。与此相关的，出现了表示这几个数值的称法，但
随之也出现了一些误称。举几例如下：

　　胡作玄编著的《数学上未解的难题》一书12页：

　　他（祖冲之）计算的π值介于疏率和密率之间，即： 22/7＜π＜355/113

　　可见，胡作玄先生是把22/7称作了疏率。

　　任现淼编著的《趣味数学365天》144页：

　　π的疏率22/7和密率355/113。密率又称祖率。

　　杨世明与王雪芹著《数学发现的艺术》一书144页也把22/7称为疏率。

　　但关于疏率的称法是错误的。对这一错误的来龙去脉梁宗巨《数学历史典故》
一书240页有清楚地探讨，兹引文如下：

　　22/7明明写的是“约率”，但相当多的文章却误写成“疏率”，这可能出版
一个偶然的印刷错误（或笔误）。如章克标《算学的故事》（开明书店，1935）
P140正确地写成约率，但在P201上却误写成疏率。1951年2月10日《人民日报》3
版发表华罗庚《数学是我国人民所擅长的学科》……文中提到“（祖冲之）用22
/7及355/113做疏率和密率”……后来大量的书刊沿用了“疏率”这个名称。其实
华罗庚在《从祖冲之的圆周率谈起》（1962年6月）一书中早已将这种叫法改正
过来，并把《隋书》的原文列在书前，又在密率和约率的下面加上重点，以引起
注意。然而直到最近还有人墨守疏率这个不正确的名称。

　　梁宗巨的这一段话已经把疏率问题解释得非常清楚了。

　　但对于祖率问题却还存在一些疑问。

　　在同一本书的241、242页，梁宗巨先生探讨了祖率问题，并指出“祖率”应
该是指祖冲之的密率。

　　解恩泽、徐本顺主编的《世界数学家思想方法》一书157页：

　　故日本数学大学家三上义夫在1912年提出应称π＝355/113为“祖率”。

　　但沈康身《中算导论》387页认为

　　祖冲之“算学功绩甚伟大，在刘宋之末，已于其《缀术》中记载圆周率算定
之事，予在《中日算学发达史》言此率

　　3.1415926＜π＜3.1415927

　　称祖率为适当。”

　　由此可见，“祖率”之称来自于日本数学史家三上义夫是确切无误的。但究
竟他所指的祖率是否等同于密率，所需要的是查看他的原文。可惜我手中没有原
始资料，无法对这一问题做出结论。这种澄清有赖于手中有此材料的同志了。

　　
莱布尼兹、二进制、《易经》

　　《中华读书报》第338期曾有一专版用了一版的篇幅评一套丛书《中国人的
智慧丛书》。但书评中却出现了一些常识性的错误。如书评中有一段：

　　“值得注意的是，外国人赖以建立的种种基本发明，大都源于中国，……就
是现代计算机的二进制，也来自于中国的八卦，因为八卦的阴阳爻可以组成64种
符号，而二进制恰好对应于现代计算机的电路通断。因为仰慕中国的古代文化，
莱布尼兹把一台计算机送给了康熙皇帝。”

　　由于这一套丛书我没有见到，所以不知上述说法是书中存在的抑或是书评者
自己的观点。但可以肯定的是，现代计算机的二进制来自于中国的八卦，早已被
证明是一个神话。对这一错误，郭书春在《古代世界数学泰斗刘徽》一书461页
指出：

　　国内有所谓《周易》创造了二进制的说法，至于莱布尼兹受《周易》八卦的
影响创造二进制并用于计算机的神话，更是广为流传。几年前，这个神话还被人
用来作为否定取消基础理论科学研究的根据。事实是，莱布尼兹先发明了二进制，
后来才看到传教士带回的宋代学者重新编排的《周易》八卦，并发现八卦可以用
他的二进制来解释。

　　梁宗巨著《数学历史典故》一书14～18页对这一历史公案有更加详尽考察，
想进一步了解者可参考。

　　
三环亲和数链

　　所谓亲和数是指一对数，每一个数的所有真因子之和都恰等于另一个数。如
220与284就是最早发现的一对亲和数。后来，亲和数又被推广到亲和数链。一个
亲和数链满足：第一个数的所有真因子之和等于第二个数；第二个数的所有真因
子之和等于第三个数，依此类推，最后一个数的所有真因子之和等于第一个数。
现在所发现的最大的亲和数链有28个数组成，但是有没有三环亲和数链呢？

　　贾庆祥《漫游自然数王国》一书17页：

　　不过，奇怪的是，至今还没有发现三环亲和数链。难道在自然数王国里不存
在“刘、关、张桃园三结义”吗？

　　任现淼编著的《趣味数学365天》87页：

　　恰好有三个“环”的亲和数链称为“伙”（Crowd），目前尚未发现
“伙”。

　　在王志雄著《数学美食城》一书695页也指出：

　　至今，我们还没有发现亲和3数圈。

　　到底现在有没有发现三环亲和数链呢？

　　英国人西蒙·辛格著，薛密译的《费马大定理》一书第57页给出了一个三元
数组：1945330728960；2324196638720；2615631953920；书中指出这个三元数
组中“第一个数的因数加起来等于第二个数，第二个数的因数加起来等于第三个
数，而第三个数和因数加起来等于第一个数。”因而这三个数恰好构成了一个三
环亲和数链。

　　顺便指出一点，该书的这一页中说“1866年，60岁的意大利人尼科洛·帕格
尼尼发现了这一对亲和数1184和1210”。这里不知是译者的错误，还是印刷的错
误：60岁应为16岁。

　　
克莱因瓶问题

　　谈祥柏先生作为数学科普名家，著述很多。但在他的作品中，也存在着某些
疏漏之处。在他著的《数学广角镜》一书115、118、119页写道：

　　事实上，德国数学家克莱因就曾提出了“不可能”设想，即拓扑学的大怪物
克莱因瓶。……这种瓶子根本没有内、外之分，无论从什么地方穿透曲面，到达
之处依然在瓶的外面，所以，它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。

　　尽管现代玻璃工业已经发展得非常先进……但是，所谓的“克莱因瓶”，却始
终是大数学家克莱因先生脑子里头的“虚构物”，根本制造不出来。

　　……许多国家的数学家老是想造它一个出来，作为献给国际数学家大会的礼
物。然而，等待他们的是一个失败接着一个失败。

　　……也有人认为，即使造不出玻璃制品，能造出一个纸模型也不错呀。如果
真的解决了这个问题，那可是个大收获啊！

　　但实际上，克莱因瓶已经被人制造出来了。在郭凯声等编著的《数学游戏》
（下）一书的“玻璃克莱因瓶”一文中有清楚的介绍。兹引录部分如下：

　　Alan Bennett是英国贝德福德的一位玻璃吹制工。几年前，他开始对拓
扑学中出现的各种神秘的形状——墨比乌斯带、克莱因瓶等等——发生兴趣，并
遇到了一个新奇的难题，数学家本会通过计算来尝试解决这个难题，而Benne tt
则用玻璃解决了它。他做出的一系列引人注目的物品很快就将成为伦敦科学博
物馆中的一项永久性陈列品。（见书的第9页）

　　彩图1示出了Bennett吹出的一个玻璃克莱因瓶。（见书的第10页）

　　在书174页之后附的彩图1给出了他用玻璃吹制出的只有一个面的表面的克莱
因瓶，并且还有一些其它种类的克莱因瓶。

　　在吴文俊主编的《中国数学史大学》第一卷中曾专门分析了各种数学图书中
的错误出现以及流传的原因。

　　书中指出“引用的资料一定要可靠，要做到可靠必须亲自过目每一项资料。
不亲自查阅所引用的资料，往往要出问题，即使查阅了还要弄懂，引用时也不要
断章取义……还有更糟的研究者，他们只是想当然地下了结论，根本没去找资料。
例如前面提到的那个关于2500年前中国人验证过当a＝2时费马定理的逆定理的例
子，是由于引申在西方造成了错误，长期来互相引用，但是没有人去核实资料，
以致到不久前仍在著作中出现。严敦杰早已指出了这个问题以及造成错误的根源，
大约是由于文字的关系，在西方没有起到应有的作用。”

　　最后这一段话还指出错误流传的主要原因：许多写作者在引用别人的东西时，
没有去核实资料。这既有写作者态度不够严谨的因素，也与相关的资料查找困难
有关。而信息不畅通也是一些错误得以继续流传的重要因素（胡作玄、谈祥柏等
写作态度严谨的作者的疏漏恐怕更多要归因于后者吧）。而问题的严重性更在于
一些错误只要在一本科普书上出现，很快就能蔓延开来，造成星火燎原之势。尤
其是当最初的错误出自于名家之手时，情况更是如此。如何能够避免这种以讹传
讹的局面呢？一个念头进入我的心头：凭贵刊的影响力，如果能开辟一个小的版
面，做《咬文嚼字》那样的工作，或许会有助于情况的转变吧！

　　正是出于这一想法，有了这篇抛砖引玉之文。若能引起数学科普工作者的关
注与讨论，从而有益于上述情况的转变，有益于数学科普事业的良性发展，那将
是我真诚期望的。　　

编后：对于科普图书而言，科学性、准确性无疑是第一位的事情，如果出错，难
免贻误大量的读者。然而，目前国内科普图书在科学性的问题上是不能令人满意
的。本文作者分析了数学科普中几例流传颇广的谬误，并特别分析了出现问题的
原因，给科普图书的编辑、作者提了个醒。由于版面所限，本报虽然不可能像
《咬文嚼字》那样专注于科普或科学图书“纠错”，但我们对那些客观、中肯、
批评性的评论和书评文章表示特别的欢迎。

[此贴子已经被作者于2004-7-23 21:37:10编辑过]

碧城仙

数学经典问题·费马最后定理

　　被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是“在陈年数学困局中，终於有人呼叫‘我找到了’”。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 xn + yn =zn的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13...等等。

　　费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法找到整数解。

　　当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。

　　十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P. Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最後定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的“数学痴”。

　　二十世纪电脑发展以後，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。

　　虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。

　　五○年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，後来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八○年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最後定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。

　　要证明费马最後定理是正确的

　　（即xn + yn = zn 对n≥3 均无正整数解）

　　只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp（p为奇质数），都没有整数解。

　　附录：费马小传

　　费马（Pierre de Fermat）是十七世纪最伟大的数学家之一，1601年8月20日生於法国南部土鲁士（Toulous）附近的一个小镇，父亲是一个皮革商，1665年1月12日逝世。

　　费马在大学时专攻法律，学成後成为专业的律师，也曾经当过土鲁士议会议员。

　　费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者，精通数国语言，对於数学及物理也有浓厚的兴趣，是一位多采多艺的人。虽然他在近三十岁才开始认真专研数学，但是他对数学的贡献使他赢得业余王子（the prince of amateurs）之美称。这个头衔正足以表彰他在数学领域的一级成就，他在笛卡儿（Descartes）之前引进解析几何，而且在微积分的发展上有重大的贡献，尤其为人称道的是费马和巴斯卡(Pascal)被公认是机率论的先驱。然而人们所津津乐道的则是他在数论上的一些杰作，例如费马定理（又称费马小定理，以别於费马最後定理）：ap&ordm; a(modp)，对任意整数a及质数p均成立。这个定理第一次出现於1640年的一封信中，此定理的证明後来由欧拉（Euler）发表。费马为人非常谦虚、不尚名利，生前很少发表论文，他大部分的作品都见诸於与友人之间的信件和私人的札记，但通常都未附证明。最有名的就是俗称的费马最后定理，费马天生的直觉实在是异常敏锐，他所断言的其他定理，後来都陆续被人证出来。有先见之明的费马实在是数学史上的一大奇葩。

　　本文转自数学公园网站
http://www.oursci.org/ency/math/009.htm  （本人转帖自三思科学网站）

碧城仙

数学经典问题·连续统之迷


　　（注：文中将阿拉夫零记为alf(0)，阿拉夫一记为alf(1)，依次类推…）　　

　　由于alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果也不足为怪：

　　alf(0)+ 1 = alf(0)　

　　alf(0) + n = alf(0)　

　　alf(0) + alf(0) = alf(0)　

　　alf(0) × n = alf(0)　

　　alf(0) × alf(0) = alf(0)　

　　alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破alf(0),但幂集可突破：２alf(0) = alf(1)　　

　　可以证明实数集的基数card(Ｒ) = alf(1)。进而，阿拉夫"家族"一发而不可收：2alf(1) = alf(2); ２alf(2) = alf(3); ......　　

　　alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出：空间所有曲线的数目。但而后的alf(3)，人类绞尽脑汁，至今为能道出眉目来。此外，还有一个令人困惑的连续统之迷：“alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数？”

　　公元１８７８年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。

　　公元１９００年，在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世闻名的２３个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。

　　公元１９３８年，奥地利数学家哥德尔证明了“连续统假设决不会引出矛盾”，意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。１９６３年，美国数学家柯亨居然证明了：“连续统假设是独立的”，也就是说连续统假设根本不可能被证明。

　　本文转自数学公园网站

碧城仙

数学经典问题·希尔伯特23个数学问题

　　在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

　　（1）康托的连续统基数问题。

　　1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

　　（2）算术公理系统的无矛盾性。

　　欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

　　（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

　　问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。

　　（4）两点间以直线为距离最短线问题。

　　此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

　　（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。

　　这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

　　（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

　　1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

　　（7）某些数的超越性的证明。

　　需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。

　　（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。

　　素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

　　（9）一般互反律在任意数域中的证明。

　　1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

　　（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？

　　求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

　　（11）一般代数数域内的二次型论。

　　德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。

　　（12）类域的构成问题。

　　即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

　　（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。

　　七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1～9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1～7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

　　（14）某些完备函数系的有限的证明。

　　即域K上的以x1,x2,...,xn为自变量的多项式fi（i=1,...，m），R为K［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

　　（15）建立代数几何学的基础。

　　荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。

　　注一：舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。

　　一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

　　（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

　　此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

　　（17）半正定形式的平方和表示。

　　实系数有理函数f(x1,...，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

　　（18）用全等多面体构造空间。

　　德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。

　　（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？

　　德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。

　　（20）研究一般边值问题。

　　此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。

　　（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

　　此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

　　（22）用自守函数将解析函数单值化。

　　此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

　　（23）发展变分学方法的研究。

　　这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。

　　本文转自数学公园网站

heryu

唉!老兄你是学数学的？

碧城仙

这些天有朋友问我计算出一个大素数到底有什么用，本贴的第二、三、四楼都给出了答案。
另外在http://big5.chinabroadcast.cn/ga ... /07/1062@352023.htm
也指出了寻找梅森素数的意义：
“尋找梅森素數在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效的途徑；它推動了數學皇后——數論的發展，也促進了計算數學、程式設計技術、分佈式計算技術、因特網技術以及口令技術的發展。尋找梅森素數的方法還可用來測試電腦硬體運算是否正確。因此，科學家們認為，對於梅森素數的研究能力如何，已在某種意義上標誌著一個國家的科技水準。”

xianwei

怎么你们打不出那个几次方的符号吗。X的二次方成了X2我半天看不懂

碧城仙

“平方”在论坛后台程序里识别不出来。