一个小学生的作业——请各位老师批评指正

平常心

Fwjmath：“嫌少就学数理逻辑，3x+1和数理逻辑有些微妙的联系”。

我在努力按照老师的意见学习。嘲笑不是命题，但既然来学习，就听得进去任何意见。它起码令我时刻检查自己的错误。学习不容易，特别是我这样低水平的爱好者。刚学了一点点就想用，结果出问题了。为此，特将原来发表的“主要思路”修改如下（今后如发现错误，仍将及时修改）：

自然数集N、奇数集M与集合A、B。

A={x|x≢101(mod1000）}

A" ={x|x≡101(mod1000）} ，是A的补集

集合A中任何元素尾部字符肯定不是“101”，其尾部字符必定为下列之一：

①0011……1（奇数个连续的1字符）、1011……1（偶数个连续的1字符）

②0011……1（偶数个连续的1字符）、1011……1（奇数个连续的1字符）

①类中的所有数字构成了集合B, B为A的子集。

②类中的元素与①类中的元素一一对应，它们构成的集合是B的补集B"。

B ={x|x=n×10^(2k+1)+(10^(2k-1)-1）or x=m×10^(2k+1)+(10^2k-1）,k≧1 n∈N m∈M}

据此，设立以下命题：

P :3X+1问题对于自然数集N的所有元素都成立

q :3X+1问题对于奇数集M的所有元素都成立

r :3X+1问题对于集合A"的所有元素都成立

s :3X+1问题对于集合A的所有元素都成立

t :3X+1问题对于集合B的所有元素都成立

在3X+1问题中，根据定理1可以确定，s→r→s∧r→q→p

根据定理2可以确定，t→s→p

我的论证以及对老师提出问题的答复，仍然可能有各种问题，我耐心地等待老师的批评指导，并将一如既往虚心容纳各种意见。

fwjmath

关于我之前说的关键之处，你啥都没讲，不讲就算了。

平常心

初步整理了一下，Fwjmath版主与各位老师的意见大致有以下几点，如有遗漏或有新的问题，请提出。我将继续一个一个问题虚心向各位老师请教。当然我也希望各位老师尽量给出具体的批评意见。

一、学习

Fwjmath 4月10日 01:44

我劝你还是先去踏踏实实学点数学分析和近世代数。近世代数对于更深刻地理解这种问题是必须的，而数学分析虽然不是必须，但是学了之后，起码思考问题会严谨些。嫌少就学数理逻辑，3x+1和数理逻辑有些微妙的联系，在某些逻辑体系中，某些3x+1类型的问题是不可判定的。

为什么你的做法走不通，你要理解这个，就要去学学数学分析，学学测度论，明白为什么100%会发生的事件也有可能不发生。

二、文献

Fwjmath( 4月10日 01:44): 你这种证明思路，之前有人做过了，还没有走通。你现在的进度还远远落后于前人。我一时找不到参考文献，一个是懒得去找，第二个是这种想法是标准的想法，是任何一个搞3x+1的人都会想到过的。

”搞数学常常遇到的问题，就是自己搞出来的东西之前的人已经搞过了。这就是为什么读文献很重要。”

Fwjmath( 4月13日 15:06:51): “请你尊重一下之前数学家的研究，先去看看他们的论文和结果，再来说你有什么新东西好么？你目前说的东西，除了那些错的，基本上之前的人都知道。”

Equn（2013/4/16 02:38）:”切记要多读文献(literature)，看看前人走过的路。而不是在小半途就大声发表。”

三、我的论证的错误及问题

Fwjmath( 4月10日 01:44): 怎么说，你现在做出来的东西，非常不严谨。

Fwjmath （2013/4/12 16:10）：你这个平均值的论证，其实就是早已经有的heuristic，不过那个证明不了什么东西，先把异调的文章读好了再说，特别是那个启发式论证。

Fwjmath 2013/4/13

我指的是那套树的东西，不是后面启发式论证什么递减的那个。
对于任意的规则，都可以通过适当的构造弄出一棵树来，具体来说取图的spanning tree，再加上某些规则即可。

Fwjmath 2013/4/12 16:10

最后，其实你觉得很显然的地方就是你证明有问题的地方。凭什么说每个数字都在同一棵树上？如果有两棵不同的树呢？如果有无数的树呢？
fwjmath 发表于 2013-4-5 14:39
问题是，你没有证明所有数都在你的那颗树里，你的论证是不成立的。考虑5x+1问题，你的整个论证都可以照搬上 ...

原因在于，你只证明了1是一个树根，但是没有证明没有别的树根。

平常心

学习问题基本是没有分歧。我会努力去学。不过，我不可能一下子就学到很多，也不可能一下子就学得很好。有什么错误，请各位老师批评。

平常心

多读文献。完全赞成！

实事求是地说：我读的文献不多。但我尊重之前数学家及各位学者的研究，努力学习我所能够接触到的文献。

阅读文献使我们少走弯路，也让我们进步，很重要。邬家邦先生的《3N+1猜想》以及EricRoosendaal网站（包括分布式计算网站的翻译等）都给了我很大帮助。，我直接借鉴了书中将研究范围压缩到奇数的方法，我非常欣赏那个“e(n)——使偶数3N+1能够被2^ e(n)整除的最大自然数”。探索Collatz3X+1问题对我来说是一种学习。由于自身条件以及所处环境的限制，必然出现搞数学常常遇到的问题——”自己搞出来的东西之前的人已经搞过了。”这是非常正常的事，我不遗憾。相反，我为能够通过独立思考得出与专业数学工作者一致的结论而高兴。我不准备去领啊什么“奖”，只希望自己能够取得进步。当然如果我使用的方法不同于他人时，格外兴奋。例如，使用二进制数令我能够通过“n”的二进制数结构一眼就确定出e(n)的具体数值，通过直接观察找到定理1等，结论虽然仍然在前人结论的范围内，独特的方法对我来说依然是珍贵的。当然我不能排除之前也可能有人用过这样的方法（各位老师如了解，希望告诉我），至少这是我自己独立思考的结果。

“你这种证明思路，之前有人做过了，还没有走通。……这种想法是标准的想法，是任何一个搞3x+1的人都会想到过的。”这个评价有一定依据，但也有些是习惯的观念指导下的结论，值得商榷。下面再谈谈我的理解，如有不当之处，望各位老师提出具体的批评意见。

任何问题的客观规律是不以人的意志为转移的，数学家也好，业余爱好者也好都不能也无法随意改变这个规律。在某些问题是产生相同或类似的思路（或者说“标准“的想法），毫不奇怪。但人总是有差别的，看似一样的结论，不同的人很可能有不同的理解，很可能由此通向不同的道路。

对定理1 的理解就有区别。

邬家邦先生是通过下面的定理介绍该问题的：

定理9.1 设对于某数m∈N和对于所有的n≡(2^2m -1)/3(mod2^(2m-1))有h(n)<∞,则对每个n∈M,有h(n)<∞.（注：原文奇数集的符号不是M，我做了修改）

邬家邦先生说，“定理 9.1说明，在以下个奇数组中任取一组，若该组中的每个奇数满足3N+1猜想，则全体奇数都满足3+1猜想：

形如 n= 1+2t的奇：1, 3,5, 7, 9,……

形如 n= 1+8t的奇数：5, 13,21, 29, 37,……

形如 n= 1+32t的奇数：21,53, 85, 117, 149,……

形如 n= 1+128t的奇数：85,213, 341, 469, 597,……

……

可见，根据定理9.1，为证明3N+1猜想而只需考察的奇数范围可以无限缩小。“

（见《3N+1猜想》120—121.）

内蒙古科技大学郝生旺先生的论文《3n+1问题的直接证明》则通过引理3采用另一种形式描述了该定理（我的定理1与郝先生的描述基本一致，故省略），他还说，引理3和引理4实际上确定了奇数的一种分类方法“，我将奇数氛围两类，与此也基本一致。

比较二人的介绍（或论证），我觉得郝先生讲得更清楚一些。另外，邬家邦先生关于“为证明3N+1猜想而只需考察的奇数范围可以无限缩小”的结论似乎欠思考。

说到这里, 我已经能够理解Fwjmath老师为什么给出那样的评价。然而问题到这里仅仅是开始，这样的思路是比较“标准”的思路之一吧。随着时间的推移，这样一个小学生都能看得懂的问题，被人们蒙上了一层层神秘的面纱。于是，出现了更丰富多彩的论证方法。邬家邦先生参阅了大量的国内外文献资料，将各种证明划分为三大类：通常迭代、伸长迭代与压缩迭代。同时换介绍了随机模型等研究方式。异调先生的文章更进一步介绍了人们对这个问题的研究方式和各种态度，包括在估计、概率分析基础是的启发式论证，甚至怀疑该问题永远不可证明。对比之下，我的论证自然显得是那么“落后”、笨拙，甚至令人不屑一顾。

学习，重要的是理解，是思考，而不是死记照搬前人的结论，更不是一直跟着别人走。一个人不可能把浩如烟海的所有文献都看完。如果陷入文献的汪洋大海里出不来，大概也不是好事。一个小学生的作业，如果都是从别人那里抄来的，尽管是100分，也没有多大价值。如果其中有自己独立思考的结果，即使没有取得好成绩，也值得赞扬。前天看了zensin123网友的文章，他说：“只有死鱼才会随波逐流。独立思考的人才能像鱼一样自由/接受信息 -->思考 ->判断->选择/即使错了，也是一种经历”。我赞赏他的这些话。我的理解、思考也会出错误，出错的经历也是一种收获。

当一个问题越来越显得复杂时，不妨反过来思考思考：我们是否无意中忽略了某个环节？从头检查我们走过的路，也许有新的发现。

任何一个3X+1序列的收敛或散发，固然与其本身的规律有关，但同时也受到相关序列的约束。但我们集中精力研究计算的一些东西，往往难以摆脱处理单一线性序列的习惯。有些问题虽然涉及到序列之间的关系，如同高连续数对、L—tuple、步数分类记录等，但由于缺乏对Collatz树整体规律的认识，仍然难以取得大的突破。人们早就提出，3X+1“序列除开圈4,2,1,4外，是否是树状？“的问题并进行研究（曹珍富《数论中的问题与结果》，哈尔滨工业大学出版社，1996，P203 E13），有的学者也将问题放在二维空间进行研究，可惜至今没有大的突破。

我认为，Collatz序列的各项依次分布在三维空间。当我们依据定理1将研究范围进一步缩小之后，其重大意义并非是研究范围的大小，而是将一个三维空间序列改变为二维空间序列，从而为寻找Collatz树的基本规律奠定了基础。经过长期多次的反复摸索，我终于认识到“孪生数对“的普遍存在，看到了它们的重要作用，于是在定理1的基础上提出定理2。
之前有人得出定理2这样的结论并应用其总结Collatz树的规律吗？我只能说，我没有发现，没有看过这样的文献。这不是“之前有人做过了”的思路。当然，定理2是正确的，还是错误的，也请各位老师检验。

平常心

Fwjmath老师说：“考虑5x+1问题，你的整个论证都可以照搬上”。

前面我已经回答过这个问题。

Fwjmath 老师又说，“我指的是那套树的东西，不是后面启发式论证什么递减的那个。如果你误会了，那我先说声不好意思。”其实，这里不存在误会，而是对该问题的理解不同。不同的认识是正常的，也是有益的，能够在一起讨论问题是千年的福分，无需“不好意思”。我只愿通过认真的讨论，大家对问题的认识都有所提高，让我从中学习到更多的东西。

在我的回答中明确指出，“在5X+1问题中，你也可将奇数划分为两类：≡10011(mod100000）或≢10011(mod100000），前者均可用后者之一来表示。接下来，你很难找到类似上面问题中的孪生数对（我没有认真研究过这个问题，不敢断定没有，但可以肯定，绝不会像3X+1问题中那样普遍），当然就根本不会出现定理2那样的结论。因此无法构成像Collatz树那样规律的大树。在这个问题上根本不存在这样的规律，你怎么可能搬过来呢？”

这段话的实质就是讲，在3X+1问题中，能够根据定理1、2清晰地描绘出有规律的Collatz树，而在5X+1问题中则不可能出现这样有规律的“树”。Collatz树的规律是客观存在的，并非是“对于任意的规则，都可以通过适当的构造弄出一棵树来，具体来说取图的spanningtree，再加上某些规则即可。”我绝不会毫无根据地编造“规律”。这与我随后的论证是一个整体，我并未采用“估计、概率”之类的手段，谈不上是启发式论证。

前几天，我再次介绍了我对定理1、2的理解以及之前的研究者的一些相关论述，可惜未看到各位老师的批评意见。为此，我又随机抽取几个数据画出Collatz树的局部图，作为对照也画了一个5X+1问题树图的一个局部。希望各位老师通对照比较，能够进一步看到这两个问题的区别，从而对3X+1问题有更多的理解。当然，我更希望大家批评指正我论证中的错误和漏洞。

平常心

36#附图

平常心

上次我说过：“在3X+1问题中，能够根据定理1、2清晰地描绘出有规律的Collatz树，而在5X+1问题中则不可能出现这样有规律的‘树’。“

当我们将研究范围压缩到奇数之后，至少有2个根本原因决定了二者规律的不同：

在3X+1问题中，除1以外，所有的奇数项都有孩子。在5X+1问题中，包括1在内的所有奇数项都有孩子；

对于按照一定规律大小排列的奇数项，在3X+1问题中，每3个奇数项中有2项且只有2项有双亲。在5X+1问题中，在5X+1问题中，每5个奇数项中有4项且只有4项有双亲。这就决定了Collatz树的基本规律最终可以用二叉树来描述。而在5X+1问题中则不可能出现这样有规律的“树”。

我曾设想，在3X+1问题中奇数分布在一条螺旋线上。这条螺旋线依附在一个圆柱体的表面，的起点是1。以所有≢101(mod1000）的奇数为起点作若干条垂直于圆柱体底面的射线，那么所有≡101(mod1000）的奇数则都分布在这些射线与螺旋线的交点上。为进一步说明问题，特将该圆柱体的侧面展开图附在下面。该图还有其他作用，如果我们对“证明”的讨论能够告一段落，希望在讨论有关的问题能够再用上它。也希望那时能够对5X+1等问题有更深入的讨论。

平常心

Fwjmath 老师说：“对于任意的规则，都可以通过适当的构造弄出一棵树来，具体来说取图的spanning tree，再加上某些规则即可。”

说实话，我不明白“适当的构造”以及“某些规则”是什么含义。我以上用大量的篇幅试图说明，我所展示的Collatz树并非是自己“制造”某些规则的结果，仅仅是将客观的Collatz树加以必要的简化。定理1、2证明了，若简化后的各数字项符合猜想，则所有的奇数（自然数）也符合猜想。

如果各位老师网友认为我前面所说的有问题，我依然欢迎批评指正。

简化后的Collatz树划分为若干层次，这为我们最终证明该猜想奠定了基础。附件及附图再次展示了Collatz树的基本结构关系和面貌。

真诚欢迎批评指导！

平常心

附图

平常心

Collatz树有如下基本规律：⑴树中各顶点，唯一没有孩子的数是1（或者说，1的孩子是其本身）。
⑵以任何一个孪生数对中较小的奇数为根的Collatz子树的基本结构，与Collatz树的基本结构完全相同：可以划分为”基干图、一级扩大图、二级扩大图……“等若干级别，基干图同样是一个深度无限大、没有叶子的满二叉树。各级别扩大图中，每个顶点的双亲也是固定有限的。
⑶不同深度（归一步数）下的所有顶点的平均值和最大值随着深度的减小而递减。

平常心

       本主题一开始我就说：“问题总要一步步解决，我们先讨论一下我论证的Collatz树的规律是否正确？这是整个问题的基础，如果有了沟通的基础，下面的问题就好谈了。”
       现在我已明确提出Collatz树基本规律，欢迎各位老师批评指正。

平常心

Fwjmath老师：“凭什么说每个数字都在同一棵树上？如果有两棵不同的树呢？如果有无数的树呢？”“问题是，你没有证明所有数都在你的那颗树里，你的论证是不成立的。”……

非常赞赏这样的问题。

根据（1.3）（1.4）式（见附件《小学生看3X+1问题之二》）可以肯定，前面介绍的三个基本规律对任何一棵“Collatz树及其子树”都是成立的。

之前人们在讨论3X+1问题的循环圈问题时，都是针对单一的Collatz序列，很难得出最后的结论。当我们将问题放进Collatz树中检验时，就会发现，任何一个序列的变化都受到其它相关序列的约束。若某一颗Collatz数中存在一个循环圈，那么它是一颗“循环树”，一个以有限深度k为周期的“树”，任何一个深度j与深度j+nk（j,n,k∈N）上顶点个数以及每个顶点的值完全相同。违背了第三条规律。因此在Collatz树中，任何两个顶点的数值都不相同。
若存在根不是1的树，那么这棵“树”上一定存在一个最小的顶点mx，且mx有一个最大的兄弟md（当然，是在同一级别、同一深度上）。由于“不同深度下的所有顶点的平均值和最大值随着深度的减小而递减”，当减少到某个深度时必然出现小于mx的数值。显然，这样的“树”也只不过是整个Collatz树的一个子树。

平常心

Fwjmath:”原因在于，你只证明了1是一个树根，但是没有证明没有别的树根。”
当我们将研究范围压缩到奇数之后，根据（1.3）或（1.2）式（见附件《小学生看3X+1问题之一、二》）1没有孩子，成为唯一没有孩子的奇数。
压缩研究范围的主要作用并非是研究范围的东西或研究对象的多少，“全体正整数的集合和全体正奇数数的集合等势”，全体正整数的集合和全体“孪生数对中较小者”的集合等势。关键的问题是如何将问题的主要规律清晰地展现在人们面前。我认为，人们一向热衷讨论的“1—4—2—1”圈仅仅存在于第三维空间，对猜想的成立与否没有影响。
当然有人会说，也许存在另外一个根不是1的“Collatz树”，但可以肯定，这个“根”不可能是某个具体的奇数，因为根据（1.3）或（1.2）式除1以外的奇数都有孩子。

平常心

Fwjmath老师认为：我文章中对于“平均值的论证”与“启发式论证”中的平均本质上是一样的：“都没有考虑到是否所有需要考虑的数都被论证囊括其中的问题。”

这可能是一个误解。

异调先生说，“数学中有一种叫‘启发式’的论证方法，建立在估计和概率的手段上。”换句话说，估计和概率是启发式论证的特征。

我的论证是建立在Collatz树的基本规律基础上的，没有“估算和概率”。除1以外，(1.4-1)(1.4-2)(1.4-3)（见有关附件）对于任何一个孪生数对中较小的奇数m都是成立的。将m与其最小双亲对相比，尾部位数减少的平均值恒等于3.5，没有例外。

Fwjmath老师还说过，“问题是，你没有证明所有数都在你的那颗树里。”我想，老师可能将这两个问题混淆了。需要证明的所有奇数都符合同样一个规律，说明这些数所在的“Collatz树”的规律是一致的。至于是否是同一棵“树”，我最近正在说明这个问题。

我的理解是否对，请指正。