NumberFields@home

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NumberFields@home是使用通过互联网连接的电脑一个数论方面的研究项目。


如何加入项目

该项目基于 BOINC 平台,简要的加入步骤如下(已完成的步骤可直接跳过):

  1. 下载并安装 BOINC 的客户端软件(官方下载页面程序下载
  2. 点击客户端简易视图下的“Add Project”按钮,或高级视图下菜单中的“工具->加入项目”,将显示向导对话框
  3. 点击下一步后在项目列表中找到并单击选中 NumberFields@home 项目(如未显示该项目,则在编辑框中输入项目网址:http://numberfields.asu.edu/NumberFields/ ),然后点击下一步
  4. 输入您可用的电子邮件地址,并设置您在该项目的登录密码(并非您的电子邮件密码)
  5. 再次点击下一步,如项目服务器工作正常(并且有适合自身操作系统的计算程序),即已成功加入项目

更详细的加入方法说明,请访问 BOINC 新手指南BOINC 使用教程

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项目目的

域是一种重要的数学结构,它在数学的许多分支有着影响深远的应用。很多人对有理数域,实数域和复数域都颇为熟悉。在这个项目中,我们主要研究的是有理数域的有限扩张。更准确地说,是次数为十的域(或称十次数域)。扩张次数更低的域需要的计算资源更少,而我们已经有一张记录它们的表。十次数域是第一种需要高度并行计算的情况,而这正是这个BOINC项目存在的理由。

对数域分类的一种方法是按照其中的分歧素数来分类。对于一个给定的素数集合,以这些素数为分歧素数的数域只有有限个。本项目的主要目的就是找到不同分歧素数集合对应的数域。由于素数集合永无止尽,在可以预见的将来,本项目一直会有工作。

另一种分类的方法是根据它们的判别式分类。判别式是数域中非常重要的一个不变量。给定一个上界B,判别式小于这个上界的数域是有限的。本项目的次要目的就是确定判别式小于B=1.2*10^11的非本原十次数域的完整列表。我们选择这个上界是为了平衡能找到的数域个数与所需计算量。

项目应用

密码学

数域在数论的方方面面都有用途,其中包括在密码学中的直接应用。例如,在与RSA密码算法有关的大数分解算法中就用到了数域(指数域筛法,number field sieve)。

自守形式

自守形式理论在数学中是个重要的题目。它将模形式从单变量复函数推广到多变量的情况。自守形式与拥有某些特殊分歧性质的有限域扩张有着深刻的联系。比如说,Calegari在研究Q(i)上的自守形式时,希望能证明不存在某种特定的自守形式。这个问题可以转化为关于数域的问题,给出以下的猜想:

Calegari猜想:

  • 不存在Q(i)的五次域扩张L,使得:
  1. L的伽罗华闭包与Q(i)的商的伽罗华群是交错群A_5
  2. L的分歧素数不包含2和5以外的素数
  3. L的判别式整除2^14*5^15

利用Q(i)的十次数域表,我们证明Calegari猜想是正确的。(备注:虽然项目仍然在搜索Q(i)上的十次数域,但Calegari猜想中对判别式的界足够小,之前的搜索足以确定它的正确性)

伽罗华理论

项目搜索到的数域可以进一步按照它们的伽罗华群分类。如果有足够大的数域列表,我们能对不同伽罗华群的分布进行猜想。对于列表中的每个数域,我们也可以计算它们的伽罗华根判别式(GRD),这对于研究低GRD数域的数学家很有用处。

理论物理学

本项目研究的数域与p进域有联系。在最近,p进分析被应用到理论物理的一些问题上,比如说量子力学与弦论。这里有一个对相关概念的介绍。现在要说我们的列表对于物理学家来说有什么用处,仍然为时尚早;我们仍然在探索未知的领域。

算法细节

域的有限扩张可以用多项式表示,它们可以表示为Q(a),其中a是某个多项式的根。域的判别式能给出多项式系数的界,所以我们的搜索只需要处理有限个多项式。粗略地说,我们的算法遍历所有可能的多项式,检查它们是否表示了一个符合我们要求的数域。更进一步地说,我们的算法用了一些复杂的数学论证来减小搜索空间。另外,指定的分歧结构也会给出多项式系数的一些同余关系,这也可以减小搜索空间。对算法有兴趣的人可以查看博士论文